Theorem setsstruct 15898

Description: An extensible structure with a replaced slot is an extensible structure. (Contributed by AV, 9-Jun-2021.) (Revised by AV, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsstruct	|- ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) /\ G Struct <. M , N >. ) -> ( G sSet <. I , E >. ) Struct <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. )

Proof of Theorem setsstruct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct 15870	. . . . . 6 |- ( G Struct <. M , N >. <-> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) )
2		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ G Struct <. M , N >. /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> G Struct <. M , N >. )
3		simp3l 1089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ G Struct <. M , N >. /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> E e. V )
4		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ZZ
5		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
6		eluzuzle 11696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> I e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
7	4, 5, 6	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> I e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
8		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. NN <-> I e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9	7, 8	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> I e. NN ) )
10	9	adantld 483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> I e. NN ) )
11	10	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> I e. NN ) )
12	11	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> ( G Struct <. M , N >. -> ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> I e. NN ) ) )
13	12	3imp 1256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ G Struct <. M , N >. /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> I e. NN )
14	2, 3, 13	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ G Struct <. M , N >. /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> ( G Struct <. M , N >. /\ E e. V /\ I e. NN ) )
15		op1stg 7180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 1st ` <. M , N >. ) = M )
16	15	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) <-> I <_ M ) )
17		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> I = I )
18	16, 17, 15	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) = if ( I <_ M , I , M ) )
19	18	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) = if ( I <_ M , I , M ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) = if ( I <_ M , I , M ) )
21		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ I e. ZZ /\ M <_ I ) )
22		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( I e. ZZ -> I e. RR )
23	22	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( I e. ZZ -> I e. RR* )
24	23	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ I e. ZZ /\ M <_ I ) -> I e. RR* )
25		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
26	25	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. ZZ -> M e. RR* )
27	26	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ I e. ZZ /\ M <_ I ) -> M e. RR* )
28		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ I e. ZZ /\ M <_ I ) -> M <_ I )
29	24, 27, 28	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ I e. ZZ /\ M <_ I ) -> ( I e. RR* /\ M e. RR* /\ M <_ I ) )
30	29	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ I e. ZZ /\ M <_ I ) -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> ( I e. RR* /\ M e. RR* /\ M <_ I ) ) )
31	21, 30	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> ( I e. RR* /\ M e. RR* /\ M <_ I ) ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> ( I e. RR* /\ M e. RR* /\ M <_ I ) ) )
33	32	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> ( I e. RR* /\ M e. RR* /\ M <_ I ) )
34		xrmineq 12011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. RR* /\ M e. RR* /\ M <_ I ) -> if ( I <_ M , I , M ) = M )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) = M )
36	20, 35	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> M = if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) )
37	36	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ G Struct <. M , N >. /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> M = if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) )
38		op2ndg 7181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2nd ` <. M , N >. ) = N )
39	38	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N = ( 2nd ` <. M , N >. ) )
40	39	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( I <_ N <-> I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) ) )
41	40, 39, 17	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> if ( I <_ N , N , I ) = if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) )
42	41	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> if ( I <_ N , N , I ) = if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) )
43	42	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ G Struct <. M , N >. /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> if ( I <_ N , N , I ) = if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) )
44	37, 43	opeq12d 4410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ G Struct <. M , N >. /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. = <. if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) , if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) >. )
45	14, 44	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ G Struct <. M , N >. /\ ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) ) -> ( ( G Struct <. M , N >. /\ E e. V /\ I e. NN ) /\ <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. = <. if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) , if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) >. ) )
46	45	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> ( G Struct <. M , N >. -> ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G Struct <. M , N >. /\ E e. V /\ I e. NN ) /\ <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. = <. if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) , if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) >. ) ) ) )
47	46	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> ( G Struct <. M , N >. -> ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G Struct <. M , N >. /\ E e. V /\ I e. NN ) /\ <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. = <. if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) , if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) >. ) ) ) )
48	1, 47	sylbi 207	. . . . 5 |- ( G Struct <. M , N >. -> ( G Struct <. M , N >. -> ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G Struct <. M , N >. /\ E e. V /\ I e. NN ) /\ <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. = <. if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) , if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) >. ) ) ) )
49	48	pm2.43i 52	. . . 4 |- ( G Struct <. M , N >. -> ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G Struct <. M , N >. /\ E e. V /\ I e. NN ) /\ <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. = <. if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) , if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) >. ) ) )
50	49	expdcom 455	. . 3 |- ( E e. V -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> ( G Struct <. M , N >. -> ( ( G Struct <. M , N >. /\ E e. V /\ I e. NN ) /\ <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. = <. if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) , if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) >. ) ) ) )
51	50	3imp 1256	. 2 |- ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) /\ G Struct <. M , N >. ) -> ( ( G Struct <. M , N >. /\ E e. V /\ I e. NN ) /\ <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. = <. if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) , if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) >. ) )
52		setsstruct2 15896	. 2 |- ( ( ( G Struct <. M , N >. /\ E e. V /\ I e. NN ) /\ <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. = <. if ( I <_ ( 1st ` <. M , N >. ) , I , ( 1st ` <. M , N >. ) ) , if ( I <_ ( 2nd ` <. M , N >. ) , ( 2nd ` <. M , N >. ) , I ) >. ) -> ( G sSet <. I , E >. ) Struct <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. )
53	51, 52	syl 17	1 |- ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) /\ G Struct <. M , N >. ) -> ( G sSet <. I , E >. ) Struct <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   1c1 9937   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Struct cstr 15853   sSet csts 15855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-sets 15864

This theorem is referenced by: (None)