Theorem nnge1 11046

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnge1	|- ( A e. NN -> 1 <_ A )

Proof of Theorem nnge1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. 2 |- ( x = 1 -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ 1 ) )
2		breq2 4657	. 2 |- ( x = y -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ y ) )
3		breq2 4657	. 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
4		breq2 4657	. 2 |- ( x = A -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ A ) )
5		1le1 10655	. 2 |- 1 <_ 1
6		nnre 11027	. . 3 |- ( y e. NN -> y e. RR )
7		recn 10026	. . . . . 6 |- ( y e. RR -> y e. CC )
8	7	addid1d 10236	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) = y )
9	8	breq2d 4665	. . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> 1 <_ y ) )
10		0lt1 10550	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
11		0re 10040	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
12		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
13		axltadd 10111	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
14	11, 12, 13	mp3an12 1414	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
15	10, 14	mpi 20	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) )
16		readdcl 10019	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( y + 0 ) e. RR )
17	11, 16	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) e. RR )
18		peano2re 10209	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
19		lttr 10114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
20	12, 19	mp3an3 1413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
21	17, 18, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
22	15, 21	mpand 711	. . . . . 6 |- ( y e. RR -> ( ( y + 1 ) < 1 -> ( y + 0 ) < 1 ) )
23	22	con3d 148	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( -. ( y + 0 ) < 1 -> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
24		lenlt 10116	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 0 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
25	12, 17, 24	sylancr 695	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
26		lenlt 10116	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
27	12, 18, 26	sylancr 695	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
28	23, 25, 27	3imtr4d 283	. . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
29	9, 28	sylbird 250	. . 3 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
30	6, 29	syl 17	. 2 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 30	nnind 11038	1 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  nngt1ne1  11047  nnle1eq1  11048  nngt0  11049  nnnlt1  11050  nnrecgt0  11058  nnge1d  11063  elnnnn0c  11338  elnnz1  11403  zltp1le  11427  nn0ledivnn  11941  fzo1fzo0n0  12518  elfzom1elp1fzo  12534  fzo0sn0fzo1  12557  addmodlteq  12745  nnlesq  12968  digit1  12998  faclbnd  13077  faclbnd3  13079  faclbnd4lem1  13080  faclbnd4lem4  13083  fstwrdne0  13345  swrdtrcfv  13441  swrdccatwrd  13468  divalglem1  15117  coprmgcdb  15362  isprm3  15396  pockthg  15610  infpn2  15617  setsstruct  15898  chfacfpmmulgsum2  20670  dscmet  22377  ovolunlem1a  23264  vitali  23382  plyeq0lem  23966  logtayllem  24405  leibpi  24669  vmalelog  24930  chtublem  24936  logfaclbnd  24947  bposlem1  25009  gausslemma2dlem1a  25090  dchrisum0lem1  25205  logdivbnd  25245  pntlemn  25289  ostth2lem3  25324  clwwisshclwwslem  26927  clwlksfclwwlk  26962  nnmulge  29515  lmatfvlem  29881  eulerpartlems  30422  eulerpartlemb  30430  ballotlem2  30550  reprlt  30697  fz0n  31616  nndivlub  32457  knoppndvlem1  32503  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem7  32509  knoppndvlem11  32513  knoppndvlem14  32516  fzsplit1nn0  37317  pell1qrgaplem  37437  pellqrex  37443  monotoddzzfi  37507  jm2.23  37563  sumnnodd  39862  dvnmul  40158  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  wallispi  40287  wallispi2lem1  40288  stirlinglem5  40295  stirlinglem13  40303  dirkertrigeqlem1  40315  fouriersw  40448  etransclem24  40475  iccpartigtl  41359  fmtnodvds  41456  lighneallem2  41523  logbpw2m1  42361  blennnelnn  42370  blenpw2m1  42373  dignnld  42397