Theorem slotsbhcdif 16080

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	|- ( ( Base ` ndx ) =/= ( Hom ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) =/= (comp ` ndx ) /\ ( Hom ` ndx ) =/= (comp ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 15863	. . . 4 |- Base = Slot 1
2		1nn 11031	. . . 4 |- 1 e. NN
3	1, 2	ndxarg 15882	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
4		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
5		4nn0 11311	. . . . . 6 |- 4 e. NN0
6		1nn0 11308	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
7		1lt10 11681	. . . . . 6 |- 1 < ; 1 0
8	2, 5, 6, 7	declti 11546	. . . . 5 |- 1 < ; 1 4
9	4, 8	ltneii 10150	. . . 4 |- 1 =/= ; 1 4
10		homndx 16074	. . . 4 |- ( Hom ` ndx ) = ; 1 4
11	9, 10	neeqtrri 2867	. . 3 |- 1 =/= ( Hom ` ndx )
12	3, 11	eqnetri 2864	. 2 |- ( Base ` ndx ) =/= ( Hom ` ndx )
13		5nn0 11312	. . . . . 6 |- 5 e. NN0
14	2, 13, 6, 7	declti 11546	. . . . 5 |- 1 < ; 1 5
15	4, 14	ltneii 10150	. . . 4 |- 1 =/= ; 1 5
16		ccondx 16076	. . . 4 |- (comp ` ndx ) = ; 1 5
17	15, 16	neeqtrri 2867	. . 3 |- 1 =/= (comp ` ndx )
18	3, 17	eqnetri 2864	. 2 |- ( Base ` ndx ) =/= (comp ` ndx )
19	6, 5	deccl 11512	. . . . . 6 |- ; 1 4 e. NN0
20	19	nn0rei 11303	. . . . 5 |- ; 1 4 e. RR
21		5nn 11188	. . . . . 6 |- 5 e. NN
22		4lt5 11200	. . . . . 6 |- 4 < 5
23	6, 5, 21, 22	declt 11530	. . . . 5 |- ; 1 4 < ; 1 5
24	20, 23	ltneii 10150	. . . 4 |- ; 1 4 =/= ; 1 5
25	24, 16	neeqtrri 2867	. . 3 |- ; 1 4 =/= (comp ` ndx )
26	10, 25	eqnetri 2864	. 2 |- ( Hom ` ndx ) =/= (comp ` ndx )
27	12, 18, 26	3pm3.2i 1239	1 |- ( ( Base ` ndx ) =/= ( Hom ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) =/= (comp ` ndx ) /\ ( Hom ` ndx ) =/= (comp ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ w3a 1037   =/= wne 2794   ` cfv 5888   1c1 9937   4c4 11072   5c5 11073  ;cdc 11493   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967

This theorem is referenced by:  estrreslem1  16777  estrres  16779