Theorem smadiadetglem2 20478

Description: Lemma 2 for smadiadetg 20479. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
smadiadet.a	|- A = ( N Mat R )
smadiadet.b	|- B = ( Base ` A )
smadiadet.r	|- R e. CRing
smadiadet.d	|- D = ( N maDet R )
smadiadet.h	|- E = ( ( N \ { K } ) maDet R )
smadiadetg.x	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
smadiadetglem2	|- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( K ( M ( N matRRep R ) S ) K ) |` ( { K } X. N ) ) = ( ( ( { K } X. N ) X. { S } ) oF .x. ( ( K ( ( N minMatR1 R ) ` M ) K ) |` ( { K } X. N ) ) ) )

Proof of Theorem smadiadetglem2

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4908	. . . . 5 |- { K } e. _V
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> { K } e. _V )
3		smadiadet.a	. . . . . . 7 |- A = ( N Mat R )
4		smadiadet.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` A )
5	3, 4	matrcl 20218	. . . . . 6 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
6		elex 3212	. . . . . . 7 |- ( N e. Fin -> N e. _V )
7	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> N e. _V )
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( M e. B -> N e. _V )
9	8	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> N e. _V )
10		simp13 1093	. . . 4 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ i e. { K } /\ j e. N ) -> S e. ( Base ` R ) )
11		smadiadet.r	. . . . . 6 |- R e. CRing
12		crngring 18558	. . . . . 6 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
13	11, 12	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ i e. { K } /\ j e. N ) -> R e. Ring )
14		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
15		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
16	14, 15	ringidcl 18568	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
18	14, 17	ring0cl 18569	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
19	16, 18	ifcld 4131	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
20	13, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ i e. { K } /\ j e. N ) -> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
21		fconstmpt2 6755	. . . . 5 |- ( ( { K } X. N ) X. { S } ) = ( i e. { K } , j e. N |-> S )
22	21	a1i 11	. . . 4 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( { K } X. N ) X. { S } ) = ( i e. { K } , j e. N |-> S ) )
23		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
24	2, 9, 10, 20, 22, 23	offval22 7253	. . 3 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( { K } X. N ) X. { S } ) oF .x. ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> ( S .x. if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
25	11, 12	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( Base ` R ) -> R e. Ring )
26		smadiadetg.x	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = ( .r ` R )
27	14, 26, 15	ringridm 18572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( S .x. ( 1r ` R ) ) = S )
28	25, 27	mpancom 703	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( Base ` R ) -> ( S .x. ( 1r ` R ) ) = S )
29	28	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( S .x. ( 1r ` R ) ) = S )
30	29	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( j = K /\ ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ j e. N ) ) -> ( S .x. ( 1r ` R ) ) = S )
31		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( j = K -> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( j = K /\ ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ j e. N ) ) -> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( j = K /\ ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ j e. N ) ) -> ( S .x. if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( S .x. ( 1r ` R ) ) )
34		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( j = K -> if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) = S )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( j = K /\ ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ j e. N ) ) -> if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) = S )
36	30, 33, 35	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( j = K /\ ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ j e. N ) ) -> ( S .x. if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) )
37	14, 26, 17	ringrz 18588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( S .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
38	25, 37	mpancom 703	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( Base ` R ) -> ( S .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
39	38	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( S .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
40	39	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( -. j = K /\ ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ j e. N ) ) -> ( S .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
41		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. j = K -> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( -. j = K -> ( S .x. if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( S .x. ( 0g ` R ) ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( -. j = K /\ ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ j e. N ) ) -> ( S .x. if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( S .x. ( 0g ` R ) ) )
44		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. j = K -> if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( -. j = K /\ ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ j e. N ) ) -> if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
46	40, 43, 45	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( -. j = K /\ ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ j e. N ) ) -> ( S .x. if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) )
47	36, 46	pm2.61ian 831	. . . . 5 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ j e. N ) -> ( S .x. if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) )
48	47	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ i e. { K } /\ j e. N ) -> ( S .x. if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) )
49	48	mpt2eq3dva 6719	. . 3 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( i e. { K } , j e. N |-> ( S .x. if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) ) )
50	24, 49	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( { K } X. N ) X. { S } ) oF .x. ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) ) )
51		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> K e. N )
52		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( N minMatR1 R ) = ( N minMatR1 R )
53	3, 4, 52, 15, 17	minmar1val 20454	. . . . . 6 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ K e. N ) -> ( K ( ( N minMatR1 R ) ` M ) K ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) )
54	51, 53	syld3an3 1371	. . . . 5 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( K ( ( N minMatR1 R ) ` M ) K ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) )
55	54	reseq1d 5395	. . . 4 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( K ( ( N minMatR1 R ) ` M ) K ) |` ( { K } X. N ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) |` ( { K } X. N ) ) )
56		snssi 4339	. . . . . 6 |- ( K e. N -> { K } C_ N )
57	56	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> { K } C_ N )
58		ssid 3624	. . . . 5 |- N C_ N
59		resmpt2 6758	. . . . 5 |- ( ( { K } C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) |` ( { K } X. N ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) )
60	57, 58, 59	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) |` ( { K } X. N ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) )
61		mpt2snif 6754	. . . . 5 |- ( i e. { K } , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
62	61	a1i 11	. . . 4 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( i e. { K } , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
63	55, 60, 62	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( K ( ( N minMatR1 R ) ` M ) K ) |` ( { K } X. N ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
64	63	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( { K } X. N ) X. { S } ) oF .x. ( ( K ( ( N minMatR1 R ) ` M ) K ) |` ( { K } X. N ) ) ) = ( ( ( { K } X. N ) X. { S } ) oF .x. ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
65		3simpb 1059	. . . . 5 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( M e. B /\ S e. ( Base ` R ) ) )
66		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( N matRRep R ) = ( N matRRep R )
67	3, 4, 66, 17	marrepval 20368	. . . . 5 |- ( ( ( M e. B /\ S e. ( Base ` R ) ) /\ ( K e. N /\ K e. N ) ) -> ( K ( M ( N matRRep R ) S ) K ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) )
68	65, 51, 51, 67	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( K ( M ( N matRRep R ) S ) K ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) )
69	68	reseq1d 5395	. . 3 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( K ( M ( N matRRep R ) S ) K ) |` ( { K } X. N ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) |` ( { K } X. N ) ) )
70		resmpt2 6758	. . . 4 |- ( ( { K } C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) |` ( { K } X. N ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) )
71	57, 58, 70	sylancl 694	. . 3 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) |` ( { K } X. N ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) )
72		mpt2snif 6754	. . . 4 |- ( i e. { K } , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) )
73	72	a1i 11	. . 3 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( i e. { K } , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) , ( i M j ) ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) ) )
74	69, 71, 73	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( K ( M ( N matRRep R ) S ) K ) |` ( { K } X. N ) ) = ( i e. { K } , j e. N |-> if ( j = K , S , ( 0g ` R ) ) ) )
75	50, 64, 74	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ( M e. B /\ K e. N /\ S e. ( Base ` R ) ) -> ( ( K ( M ( N matRRep R ) S ) K ) |` ( { K } X. N ) ) = ( ( ( { K } X. N ) X. { S } ) oF .x. ( ( K ( ( N minMatR1 R ) ` M ) K ) |` ( { K } X. N ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   oFcof 6895   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   Mat cmat 20213   matRRep cmarrep 20362   maDet cmdat 20390   minMatR1 cminmar1 20439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-mat 20214  df-marrep 20364  df-minmar1 20441

This theorem is referenced by:  smadiadetg  20479