Theorem ring0cl 18569

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	|- B = ( Base ` R )
ring0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	|- ( R e. Ring -> .0. e. B )

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 18552	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
2		ring0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ring0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	grpidcl 17450	. 2 |- ( R e. Grp -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 17	1 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   Ringcrg 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ring 18549

This theorem is referenced by:  dvdsr01  18655  dvdsr02  18656  irredn0  18703  f1rhm0to0  18740  cntzsubr  18812  abv0  18831  abvtrivd  18840  lmod0cl  18889  lmod0vs  18896  lmodvs0  18897  lpi0  19247  isnzr2  19263  isnzr2hash  19264  ringelnzr  19266  0ring  19270  01eq0ring  19272  ringen1zr  19277  psr1cl  19402  mvrf  19424  mplmon  19463  mplmonmul  19464  mplcoe1  19465  evlslem3  19514  coe1z  19633  coe1tmfv2  19645  ply1scl0  19660  ply1scln0  19661  gsummoncoe1  19674  frlmphllem  20119  frlmphl  20120  uvcvvcl2  20127  uvcff  20130  mamumat1cl  20245  dmatsubcl  20304  dmatmulcl  20306  scmatscmiddistr  20314  marrepcl  20370  mdetr0  20411  mdetunilem8  20425  mdetunilem9  20426  maducoeval2  20446  maduf  20447  madutpos  20448  madugsum  20449  marep01ma  20466  smadiadetlem4  20475  smadiadetglem2  20478  1elcpmat  20520  m2cpminv0  20566  decpmataa0  20573  monmatcollpw  20584  pmatcollpw3fi1lem1  20591  pmatcollpw3fi1lem2  20592  chfacfisf  20659  cphsubrglem  22977  mdegaddle  23834  ply1divex  23896  facth1  23924  fta1blem  23928  abvcxp  25304  lfl0sc  34369  lflsc0N  34370  baerlem3lem1  36996  frlmpwfi  37668  zrrnghm  41917  zlidlring  41928  cznrng  41955  linc0scn0  42212  linc1  42214