MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqor Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem sqeqor 12978
Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqeqor |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
Proof of Theorem sqeqor
StepHypRef Expression
1 oveq1 6657 . . . 4 |- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( A ^ 2 ) = ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) )
21eqeq1d 2624 . . 3 |- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
3 eqeq1 2626 . . . 4 |- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( A = B <-> if ( A e. CC , A , 0 ) = B ) )
4 eqeq1 2626 . . . 4 |- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( A = -u B <-> if ( A e. CC , A , 0 ) = -u B ) )
53, 4orbi12d 746 . . 3 |- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) <-> ( if ( A e. CC , A , 0 ) = B \/ if ( A e. CC , A , 0 ) = -u B ) ) )
62, 5bibi12d 335 . 2 |- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) <-> ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( if ( A e. CC , A , 0 ) = B \/ if ( A e. CC , A , 0 ) = -u B ) ) ) )
7 oveq1 6657 . . . 4 |- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( B ^ 2 ) = ( if ( B e. CC , B , 0 ) ^ 2 ) )
87eqeq2d 2632 . . 3 |- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) = ( if ( B e. CC , B , 0 ) ^ 2 ) ) )
9 eqeq2 2633 . . . 4 |- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( if ( A e. CC , A , 0 ) = B <-> if ( A e. CC , A , 0 ) = if ( B e. CC , B , 0 ) ) )
10 negeq 10273 . . . . 5 |- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> -u B = -u if ( B e. CC , B , 0 ) )
1110eqeq2d 2632 . . . 4 |- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( if ( A e. CC , A , 0 ) = -u B <-> if ( A e. CC , A , 0 ) = -u if ( B e. CC , B , 0 ) ) )
129, 11orbi12d 746 . . 3 |- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) = B \/ if ( A e. CC , A , 0 ) = -u B ) <-> ( if ( A e. CC , A , 0 ) = if ( B e. CC , B , 0 ) \/ if ( A e. CC , A , 0 ) = -u if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) )
138, 12bibi12d 335 . 2 |- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( if ( A e. CC , A , 0 ) = B \/ if ( A e. CC , A , 0 ) = -u B ) ) <-> ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) = ( if ( B e. CC , B , 0 ) ^ 2 ) <-> ( if ( A e. CC , A , 0 ) = if ( B e. CC , B , 0 ) \/ if ( A e. CC , A , 0 ) = -u if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) ) )
14 0cn 10032 . . . 4 |- 0 e. CC
1514elimel 4150 . . 3 |- if ( A e. CC , A , 0 ) e. CC
1614elimel 4150 . . 3 |- if ( B e. CC , B , 0 ) e. CC
1715, 16sqeqori 12976 . 2 |- ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) = ( if ( B e. CC , B , 0 ) ^ 2 ) <-> ( if ( A e. CC , A , 0 ) = if ( B e. CC , B , 0 ) \/ if ( A e. CC , A , 0 ) = -u if ( B e. CC , B , 0 ) ) )
186, 13, 17dedth2h 4140 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   -ucneg 10267   2c2 11070   ^cexp 12860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861
This theorem is referenced by:  sqeqd  13906  sqrmo  13992  eqsqrtor  14106  4sqlem10  15651  cxpsqrt  24449  quad2  24566  atandm3  24605  atans2  24658  dvasin  33496  dvacos  33497
  Copyright terms: Public domain W3C validator