Proof of Theorem cxpsqrt
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | halfcn 11247 |
. . . . . 6
|
2 | | halfre 11246 |
. . . . . . 7
|
3 | | halfgt0 11248 |
. . . . . . 7
|
4 | 2, 3 | gt0ne0ii 10564 |
. . . . . 6
|
5 | | 0cxp 24412 |
. . . . . 6
|
6 | 1, 4, 5 | mp2an 708 |
. . . . 5
|
7 | | sqrt0 13982 |
. . . . 5
|
8 | 6, 7 | eqtr4i 2647 |
. . . 4
|
9 | | oveq1 6657 |
. . . 4
|
10 | | fveq2 6191 |
. . . 4
|
11 | 8, 9, 10 | 3eqtr4a 2682 |
. . 3
|
12 | 11 | a1i 11 |
. 2
|
13 | | ax-icn 9995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
14 | | sqrtcl 14101 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
15 | 14 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
16 | | sqmul 12926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
17 | 13, 15, 16 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
18 | | i2 12965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
20 | | sqrtth 14104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
21 | 20 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
22 | 19, 21 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
23 | | mulm1 10471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
24 | 23 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
25 | 17, 22, 24 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
26 | | cxpsqrtlem 24448 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
27 | 26 | resqcld 13035 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
28 | 25, 27 | eqeltrrd 2702 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
29 | | negeq0 10335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
30 | 29 | necon3bid 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
31 | 30 | biimpa 501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
32 | 31 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
33 | 25, 32 | eqnetrd 2861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
34 | | sq0i 12956 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
35 | 34 | necon3i 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
36 | 33, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
37 | 26, 36 | sqgt0d 13037 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
38 | 37, 25 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
39 | 28, 38 | elrpd 11869 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
40 | | logneg 24334 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
41 | 39, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
42 | | negneg 10331 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
43 | 42 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
44 | 43 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . 12
|
45 | 39 | relogcld 24369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
46 | 45 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
47 | | picn 24211 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
48 | 13, 47 | mulcli 10045 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
49 | | addcom 10222 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
50 | 46, 48, 49 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . 12
|
51 | 41, 44, 50 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . . . 11
|
52 | 51 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . 10
|
53 | | adddi 10025 |
. . . . . . . . . . . 12
|
54 | 1, 48, 53 | mp3an12 1414 |
. . . . . . . . . . 11
|
55 | 46, 54 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
|
56 | 52, 55 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . 9
|
57 | | 2cn 11091 |
. . . . . . . . . . . 12
|
58 | | 2ne0 11113 |
. . . . . . . . . . . 12
|
59 | | divrec2 10702 |
. . . . . . . . . . . 12
|
60 | 48, 57, 58, 59 | mp3an 1424 |
. . . . . . . . . . 11
|
61 | 13, 47, 57, 58 | divassi 10781 |
. . . . . . . . . . 11
|
62 | 60, 61 | eqtr3i 2646 |
. . . . . . . . . 10
|
63 | 62 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . 9
|
64 | 56, 63 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . 8
|
65 | 64 | fveq2d 6195 |
. . . . . . 7
|
66 | 47, 57, 58 | divcli 10767 |
. . . . . . . . 9
|
67 | 13, 66 | mulcli 10045 |
. . . . . . . 8
|
68 | | mulcl 10020 |
. . . . . . . . 9
|
69 | 1, 46, 68 | sylancr 695 |
. . . . . . . 8
|
70 | | efadd 14824 |
. . . . . . . 8
|
71 | 67, 69, 70 | sylancr 695 |
. . . . . . 7
|
72 | | efhalfpi 24223 |
. . . . . . . . 9
|
73 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
|
74 | | negcl 10281 |
. . . . . . . . . . 11
|
75 | 74 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
|
76 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
|
77 | | cxpef 24411 |
. . . . . . . . . 10
|
78 | 75, 32, 76, 77 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . 9
|
79 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
80 | | 2halves 11260 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
81 | 79, 80 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
82 | 81 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . . . . 12
|
83 | | cxp1 24417 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
84 | 75, 83 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
85 | 82, 84 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . . 11
|
86 | | rpcxpcl 24422 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
87 | 39, 2, 86 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
88 | 87 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
89 | 88 | sqvald 13005 |
. . . . . . . . . . . 12
|
90 | | cxpadd 24425 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
91 | 75, 32, 76, 76, 90 | syl211anc 1332 |
. . . . . . . . . . . 12
|
92 | 89, 91 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . 11
|
93 | 75 | sqsqrtd 14178 |
. . . . . . . . . . 11
|
94 | 85, 92, 93 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . . . . . . 10
|
95 | 87 | rprege0d 11879 |
. . . . . . . . . . 11
|
96 | 39 | rpsqrtcld 14150 |
. . . . . . . . . . . 12
|
97 | 96 | rprege0d 11879 |
. . . . . . . . . . 11
|
98 | | sq11 12936 |
. . . . . . . . . . 11
|
99 | 95, 97, 98 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
|
100 | 94, 99 | mpbid 222 |
. . . . . . . . 9
|
101 | 78, 100 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . 8
|
102 | 73, 101 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
|
103 | 65, 71, 102 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . 6
|
104 | | cxpef 24411 |
. . . . . . . 8
|
105 | 1, 104 | mp3an3 1413 |
. . . . . . 7
|
106 | 105 | adantr 481 |
. . . . . 6
|
107 | 43 | fveq2d 6195 |
. . . . . . 7
|
108 | 39 | rpge0d 11876 |
. . . . . . . 8
|
109 | 28, 108 | sqrtnegd 14160 |
. . . . . . 7
|
110 | 107, 109 | eqtr3d 2658 |
. . . . . 6
|
111 | 103, 106,
110 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . 5
|
112 | 111 | ex 450 |
. . . 4
|
113 | 81 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . 9
|
114 | | cxpadd 24425 |
. . . . . . . . . 10
|
115 | 1, 1, 114 | mp3an23 1416 |
. . . . . . . . 9
|
116 | | cxp1 24417 |
. . . . . . . . . 10
|
117 | 116 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
|
118 | 113, 115,
117 | 3eqtr3a 2680 |
. . . . . . . 8
|
119 | | cxpcl 24420 |
. . . . . . . . . . 11
|
120 | 1, 119 | mpan2 707 |
. . . . . . . . . 10
|
121 | 120 | sqvald 13005 |
. . . . . . . . 9
|
122 | 121 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
|
123 | 20 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
|
124 | 118, 122,
123 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . . . 7
|
125 | | sqeqor 12978 |
. . . . . . . . 9
|
126 | 120, 14, 125 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
|
127 | 126 | biimpa 501 |
. . . . . . 7
|
128 | 124, 127 | syldan 487 |
. . . . . 6
|
129 | 128 | ord 392 |
. . . . 5
|
130 | 129 | con1d 139 |
. . . 4
|
131 | 112, 130 | pm2.61d 170 |
. . 3
|
132 | 131 | ex 450 |
. 2
|
133 | 12, 132 | pm2.61dne 2880 |
1
|