Theorem 4sqlem10 15651

Description: Lemma for 4sq 15668. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sqlem10.5	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem10	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ZZ )
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. ZZ )
3		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. NN )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. NN )
5	4	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. RR )
6	5	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. RR )
7	6	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. CC )
8	7	negnegd 10383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) = ( M / 2 ) )
9		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
10	1, 3, 9	4sqlem5 15646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
12	11	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. ZZ )
13	12	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. RR )
14	1, 3, 9	4sqlem6 15647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
16	15	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> B < ( M / 2 ) )
17	13, 16	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> B =/= ( M / 2 ) )
18	17	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> -. B = ( M / 2 ) )
19		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. CC )
20	19	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 ) )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
22	4	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. CC )
23		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 =/= 0 )
25	22, 19, 24	sqdivd 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
26	22	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. CC )
27	26, 19, 19, 24, 24	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
28	21, 25, 27	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
29	26	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
30	29	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
31	12	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. CC )
32	31	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
33		4sqlem10.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )
34	30, 32, 33	subeq0d 10400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( B ^ 2 ) )
35	28, 34	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) )
36		sqeqor 12978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. CC /\ ( M / 2 ) e. CC ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
37	31, 7, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
38	35, 37	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) )
39	38	ord 392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -. B = ( M / 2 ) -> B = -u ( M / 2 ) ) )
40	18, 39	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> B = -u ( M / 2 ) )
41	40, 12	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u ( M / 2 ) e. ZZ )
42	41	znegcld 11484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) e. ZZ )
43	8, 42	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. ZZ )
44	2, 43	zaddcld 11486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ )
45	44	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. RR )
46	4	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. RR+ )
47	45, 46	modcld 12674	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
48	47	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
49		0cnd 10033	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. CC )
50		df-neg 10269	. . . . . . 7 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
51	40, 9, 50	3eqtr3g 2679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( 0 - ( M / 2 ) ) )
52	48, 49, 7, 51	subcan2d 10434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 )
53		dvdsval3 14987	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
54	4, 44, 53	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
55	52, 54	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M || ( A + ( M / 2 ) ) )
56	4	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ )
57		dvdssq 15280	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
58	56, 44, 57	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
59	55, 58	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) )
60	22	sqvald 13005	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
61	4	nnne0d 11065	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> M =/= 0 )
62		dvdsmulcr 15011	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
63	56, 44, 56, 61, 62	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
64	55, 63	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
65	60, 64	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
66		zsqcl 12934	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
67	56, 66	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
68		zsqcl 12934	. . . . 5 |- ( ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
69	44, 68	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
70	44, 56	zmulcld 11488	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) e. ZZ )
71		dvds2sub 15016	. . . 4 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) ) )
72	67, 69, 70, 71	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) ) )
73	59, 65, 72	mp2and 715	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
74	44	zcnd 11483	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. CC )
75	74	sqvald 13005	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) )
76	75	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
77	74, 74, 22	subdid 10486	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
78	22	2halvesd 11278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
79	78	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) )
80	2	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. CC )
81	80, 7, 7	pnpcan2d 10430	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
82	79, 81	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
83	82	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
84		subsq 12972	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( M / 2 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
85	80, 7, 84	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
86	28	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
87	83, 85, 86	3eqtr2d 2662	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
88	76, 77, 87	3eqtr2d 2662	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
89	73, 88	breqtrd 4679	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  4sqlem16  15664