Theorem mplcoe5lem 19467

Description: Lemma for mplcoe4 19503. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe1.p	|- P = ( I mPoly R )
mplcoe1.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplcoe1.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplcoe1.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplcoe1.i	|- ( ph -> I e. W )
mplcoe2.g	|- G = (mulGrp ` P )
mplcoe2.m	|- .^ = (.g ` G )
mplcoe2.v	|- V = ( I mVar R )
mplcoe5.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplcoe5.y	|- ( ph -> Y e. D )
mplcoe5.c	|- ( ph -> A. x e. I A. y e. I ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) )
mplcoe5.s	|- ( ph -> S C_ I )

Assertion

Ref	Expression
mplcoe5lem	|- ( ph -> ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, .^ , y   .1. , k   x, y, .1.   k, G, x   f, k, x, y, I   ph, k, x, y   R, f, y   D, k, x, y   P, k, x   k, V, x   .0. , f, k, x, y   f, Y, k, x, y   k, W, y   y, G   y, V   y, .^   S, k, y, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   D( f)   P( y, f)   R( x, k)   S( f)   .1. ( f)   .^ ( f)   G( f)   V( f)   W( x, f)

Proof of Theorem mplcoe5lem

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
2		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) = ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) )
3	2	elrnmpt 5372	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) <-> E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) )
4	1, 3	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) <-> E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) )
5		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) <-> E. k e. S y = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) )
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) <-> E. k e. S y = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = l -> ( Y ` k ) = ( Y ` l ) )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = l -> ( V ` k ) = ( V ` l ) )
10	8, 9	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = l -> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) )
11	10	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( k = l -> ( y = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) <-> y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) )
12	11	cbvrexv 3172	. . . . . . . 8 |- ( E. k e. S y = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) <-> E. l e. S y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
14		mplcoe2.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G = (mulGrp ` P )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
16	14, 15	mgpplusg 18493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .r ` P ) = ( +g ` G )
17	16	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` G ) = ( .r ` P )
18		mplcoe2.m	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .^ = (.g ` G )
19		mplcoe1.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> I e. W )
20		mplcoe5.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> R e. Ring )
21		mplcoe1.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- P = ( I mPoly R )
22	21	mplring 19452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ R e. Ring ) -> P e. Ring )
23	19, 20, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. Ring )
24		ringsrg 18589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Ring -> P e. SRing )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. SRing )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> P e. SRing )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> P e. SRing )
28	14	ringmgp 18553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. Ring -> G e. Mnd )
29	23, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> G e. Mnd )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> G e. Mnd )
31		mplcoe5.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> S C_ I )
32	31	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( l e. S -> l e. I ) )
33	32	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( ph /\ l e. I ) )
34		mplcoe5.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> Y e. D )
35		mplcoe1.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
36	35	psrbag 19364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( I e. W -> ( Y e. D <-> ( Y : I --> NN0 /\ ( `' Y " NN ) e. Fin ) ) )
37	19, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Y e. D <-> ( Y : I --> NN0 /\ ( `' Y " NN ) e. Fin ) ) )
38	34, 37	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Y : I --> NN0 /\ ( `' Y " NN ) e. Fin ) )
39	38	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Y : I --> NN0 )
40	39	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ l e. I ) -> ( Y ` l ) e. NN0 )
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( Y ` l ) e. NN0 )
42		mplcoe2.v	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- V = ( I mVar R )
43	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> I e. W )
44	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> R e. Ring )
45	31	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> l e. I )
46	21, 42, 13, 43, 44, 45	mvrcl 19449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( V ` l ) e. ( Base ` P ) )
47	14, 13	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` P ) = ( Base ` G )
48	47, 18	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Mnd /\ ( Y ` l ) e. NN0 /\ ( V ` l ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) e. ( Base ` P ) )
49	30, 41, 46, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) e. ( Base ` P ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) e. ( Base ` P ) )
51	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. S ) -> I e. W )
52	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. S ) -> R e. Ring )
53	31	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. S ) -> k e. I )
54	21, 42, 13, 51, 52, 53	mvrcl 19449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( V ` k ) e. ( Base ` P ) )
55	54	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( V ` k ) e. ( Base ` P ) )
56	39	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( Y ` k ) e. NN0 )
57	53, 56	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( Y ` k ) e. NN0 )
58	57	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( Y ` k ) e. NN0 )
59	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( V ` l ) e. ( Base ` P ) )
60	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( Y ` l ) e. NN0 )
61		mplcoe5.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. I A. y e. I ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = l -> ( V ` x ) = ( V ` l ) )
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = l -> ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) )
64	62	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = l -> ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) )
65	63, 64	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = l -> ( ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) <-> ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) ) )
66		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = k -> ( V ` y ) = ( V ` k ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = k -> ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) )
68	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = k -> ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) )
69	67, 68	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = k -> ( ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) <-> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) )
70	65, 69	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( l e. I /\ k e. I ) -> ( A. x e. I A. y e. I ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) -> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) )
71	45, 53	anim12dan 882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( l e. S /\ k e. S ) ) -> ( l e. I /\ k e. I ) )
72	70, 71	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. I A. y e. I ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) -> ( ( ph /\ ( l e. S /\ k e. S ) ) -> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) )
73	72	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. I A. y e. I ( ( V ` y ) ( +g ` G ) ( V ` x ) ) = ( ( V ` x ) ( +g ` G ) ( V ` y ) ) -> ( ph -> ( ( l e. S /\ k e. S ) -> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) ) )
74	61, 73	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( l e. S /\ k e. S ) -> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) ) )
75	74	impl 650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( V ` l ) ) = ( ( V ` l ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) )
76	13, 17, 14, 18, 27, 55, 59, 60, 75	srgpcomp 18532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ( +g ` G ) ( V ` k ) ) = ( ( V ` k ) ( +g ` G ) ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) )
77	13, 17, 14, 18, 27, 50, 55, 58, 76	srgpcomp 18532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) = ( ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) )
78		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) /\ y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) )
79		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) /\ x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) )
80	79	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) /\ y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) )
81	78, 80	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) /\ y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) <-> ( ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) = ( ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ( +g ` G ) ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) )
82	77, 81	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( ( x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) /\ y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
83	82	expd 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ l e. S ) /\ k e. S ) -> ( x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
84	83	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
85	84	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ l e. S ) -> ( y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
86	85	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. l e. S y = ( ( Y ` l ) .^ ( V ` l ) ) -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
87	12, 86	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. k e. S y = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
88	7, 87	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
89	88	com23 86	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. k e. S x = ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) -> ( y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
90	4, 89	sylbid 230	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) -> ( y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
91	90	imp32 449	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) /\ y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
92	91	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) A. y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
93	29	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. S ) -> G e. Mnd )
94	31	sseld 3602	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. S -> k e. I ) )
95	94	imdistani 726	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( ph /\ k e. I ) )
96	95, 56	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( Y ` k ) e. NN0 )
97	54, 47	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( V ` k ) e. ( Base ` G ) )
98		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
99	98, 18	mulgnn0cl 17558	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( Y ` k ) e. NN0 /\ ( V ` k ) e. ( Base ` G ) ) -> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) e. ( Base ` G ) )
100	93, 96, 97, 99	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. S ) -> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) e. ( Base ` G ) )
101	100, 2	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) : S --> ( Base ` G ) )
102		frn 6053	. . . 4 |- ( ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) : S --> ( Base ` G ) -> ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( Base ` G ) )
103	101, 102	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( Base ` G ) )
104		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
105		eqid 2622	. . . 4 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
106	98, 104, 105	sscntz 17759	. . 3 |- ( ( ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( Base ` G ) /\ ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) <-> A. x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) A. y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
107	103, 103, 106	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) <-> A. x e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) A. y e. ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
108	92, 107	mpbird 247	1 |- ( ph -> ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( k e. S |-> ( ( Y ` k ) .^ ( V ` k ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  Cntzccntz 17748  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501  SRingcsrg 18505   Ringcrg 18547   mVar cmvr 19352   mPoly cmpl 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358

This theorem is referenced by:  mplcoe5  19468