Theorem srhmsubcALTV 42094

Description: According to df-subc 16472, the subcategories (Subcat ` C ) of a category C are subsets of the homomorphisms of C ( see subcssc 16500 and subcss2 16503). Therefore, the set of special ring homomorphisms (i.e. ring homomorphisms from a special ring to another ring of that kind) is a "subcategory" of the category of (unital) rings. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srhmsubcALTV.s	|- A. r e. S r e. Ring
srhmsubcALTV.c	|- C = ( U i^i S )
srhmsubcALTV.j	|- J = ( r e. C , s e. C |-> ( r RingHom s ) )

Assertion

Ref	Expression
srhmsubcALTV	|- ( U e. V -> J e. (Subcat ` (RingCatALTV ` U ) ) )

Distinct variable groups:   S, r   C, r, s   U, r, s   V, r, s

Allowed substitution hints:   S( s)   J( s, r)

Proof of Theorem srhmsubcALTV

Dummy variables x f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srhmsubcALTV.c	. . . 4 |- C = ( U i^i S )
2		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( r = x -> ( r e. Ring <-> x e. Ring ) )
3		srhmsubcALTV.s	. . . . . . 7 |- A. r e. S r e. Ring
4	2, 3	vtoclri 3283	. . . . . 6 |- ( x e. S -> x e. Ring )
5	4	ssriv 3607	. . . . 5 |- S C_ Ring
6		sslin 3839	. . . . 5 |- ( S C_ Ring -> ( U i^i S ) C_ ( U i^i Ring ) )
7	5, 6	mp1i 13	. . . 4 |- ( U e. V -> ( U i^i S ) C_ ( U i^i Ring ) )
8	1, 7	syl5eqss 3649	. . 3 |- ( U e. V -> C C_ ( U i^i Ring ) )
9		ssid 3624	. . . . . 6 |- ( x RingHom y ) C_ ( x RingHom y )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (RingCatALTV ` U ) = (RingCatALTV ` U )
11		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) = ( Base ` (RingCatALTV ` U ) )
12		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> U e. V )
13		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) = ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) )
14	3, 1	srhmsubcALTVlem1 42092	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> x e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
15	14	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
16	3, 1	srhmsubcALTVlem1 42092	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. V /\ y e. C ) -> y e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
17	16	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
18	10, 11, 12, 13, 15, 17	ringchomALTV 42048	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) = ( x RingHom y ) )
19	9, 18	syl5sseqr 3654	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x RingHom y ) C_ ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
20		srhmsubcALTV.j	. . . . . . 7 |- J = ( r e. C , s e. C |-> ( r RingHom s ) )
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> J = ( r e. C , s e. C |-> ( r RingHom s ) ) )
22		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( r = x /\ s = y ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom y ) )
23	22	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) /\ ( r = x /\ s = y ) ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom y ) )
24		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. C )
25		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. C )
26		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x RingHom y ) e. _V )
27	21, 23, 24, 25, 26	ovmpt2d 6788	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x J y ) = ( x RingHom y ) )
28		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) = ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) )
29	28, 11, 13, 15, 17	homfval 16352	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) = ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
30	19, 27, 29	3sstr4d 3648	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x J y ) C_ ( x ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
31	30	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( U e. V -> A. x e. C A. y e. C ( x J y ) C_ ( x ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
32		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( r RingHom s ) e. _V
33	20, 32	fnmpt2i 7239	. . . . 5 |- J Fn ( C X. C )
34	33	a1i 11	. . . 4 |- ( U e. V -> J Fn ( C X. C ) )
35	28, 11	homffn 16353	. . . . 5 |- ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) Fn ( ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) X. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
36		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( U e. V -> U e. V )
37	10, 11, 36	ringcbasALTV 42046	. . . . . . . 8 |- ( U e. V -> ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) = ( U i^i Ring ) )
38	37	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( U e. V -> ( U i^i Ring ) = ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
39	38	sqxpeqd 5141	. . . . . 6 |- ( U e. V -> ( ( U i^i Ring ) X. ( U i^i Ring ) ) = ( ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) X. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) ) )
40	39	fneq2d 5982	. . . . 5 |- ( U e. V -> ( ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) Fn ( ( U i^i Ring ) X. ( U i^i Ring ) ) <-> ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) Fn ( ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) X. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) ) ) )
41	35, 40	mpbiri 248	. . . 4 |- ( U e. V -> ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) Fn ( ( U i^i Ring ) X. ( U i^i Ring ) ) )
42		inex1g 4801	. . . 4 |- ( U e. V -> ( U i^i Ring ) e. _V )
43	34, 41, 42	isssc 16480	. . 3 |- ( U e. V -> ( J C_cat ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) <-> ( C C_ ( U i^i Ring ) /\ A. x e. C A. y e. C ( x J y ) C_ ( x ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) ) ) )
44	8, 31, 43	mpbir2and 957	. 2 |- ( U e. V -> J C_cat ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) )
45	1	elin2 3801	. . . . . . . 8 |- ( x e. C <-> ( x e. U /\ x e. S ) )
46	4	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. U /\ x e. S ) -> x e. Ring )
47	45, 46	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( x e. C -> x e. Ring )
48	47	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> x e. Ring )
49		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` x ) = ( Base ` x )
50	49	idrhm 18731	. . . . . 6 |- ( x e. Ring -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RingHom x ) )
51	48, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RingHom x ) )
52		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) = ( Id ` (RingCatALTV ` U ) )
53		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> U e. V )
54	10, 11, 52, 53, 14, 49	ringcidALTV 42054	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) ` x ) = ( _I |` ( Base ` x ) ) )
55	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> J = ( r e. C , s e. C |-> ( r RingHom s ) ) )
56		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( r = x /\ s = x ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom x ) )
57	56	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( r = x /\ s = x ) ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom x ) )
58		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> x e. C )
59		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( x RingHom x ) e. _V )
60	55, 57, 58, 58, 59	ovmpt2d 6788	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( x J x ) = ( x RingHom x ) )
61	51, 54, 60	3eltr4d 2716	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) ` x ) e. ( x J x ) )
62		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) = (comp ` (RingCatALTV ` U ) )
63	10	ringccatALTV 42053	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. V -> (RingCatALTV ` U ) e. Cat )
64	63	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> (RingCatALTV ` U ) e. Cat )
65	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> x e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> x e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
67	16	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> y e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> y e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
69	3, 1	srhmsubcALTVlem1 42092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. V /\ z e. C ) -> z e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
70	69	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> z e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> z e. ( Base ` (RingCatALTV ` U ) ) )
72	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> U e. V )
73		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. C /\ z e. C ) -> y e. C )
74	58, 73	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x e. C /\ y e. C ) )
75	72, 74	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) )
76	3, 1, 20	srhmsubcALTVlem2 42093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. V /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x J y ) = ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x J y ) = ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
78	77	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( f e. ( x J y ) <-> f e. ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) ) )
79	78	biimpcd 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( x J y ) -> ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> f e. ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) -> ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> f e. ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) ) )
81	80	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) y ) )
82	3, 1, 20	srhmsubcALTVlem2 42093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. V /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( y J z ) = ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
83	82	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( y J z ) = ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
84	83	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( g e. ( y J z ) <-> g e. ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) ) )
85	84	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( g e. ( y J z ) -> g e. ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) ) )
86	85	adantld 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) -> g e. ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) ) )
87	86	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
88	11, 13, 62, 64, 66, 68, 71, 81, 87	catcocl 16346	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
89	10, 11, 72, 13, 65, 70	ringchomALTV 42048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) = ( x RingHom z ) )
90	89	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x RingHom z ) = ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( x RingHom z ) = ( x ( Hom ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) )
92	88, 91	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x RingHom z ) )
93	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> J = ( r e. C , s e. C |-> ( r RingHom s ) ) )
94		oveq12 6659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r = x /\ s = z ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom z ) )
95	94	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( r = x /\ s = z ) ) -> ( r RingHom s ) = ( x RingHom z ) )
96	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> x e. C )
97		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> z e. C )
98		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x RingHom z ) e. _V )
99	93, 95, 96, 97, 98	ovmpt2d 6788	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> ( x J z ) = ( x RingHom z ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( x J z ) = ( x RingHom z ) )
101	92, 100	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) )
102	101	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ( U e. V /\ x e. C ) /\ ( y e. C /\ z e. C ) ) -> A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) )
103	102	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> A. y e. C A. z e. C A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) )
104	61, 103	jca 554	. . 3 |- ( ( U e. V /\ x e. C ) -> ( ( ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. C A. z e. C A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) ) )
105	104	ralrimiva 2966	. 2 |- ( U e. V -> A. x e. C ( ( ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. C A. z e. C A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) ) )
106	28, 52, 62, 63, 34	issubc2 16496	. 2 |- ( U e. V -> ( J e. (Subcat ` (RingCatALTV ` U ) ) <-> ( J C_cat ( Hom f ` (RingCatALTV ` U ) ) /\ A. x e. C ( ( ( Id ` (RingCatALTV ` U ) ) ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. C A. z e. C A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` (RingCatALTV ` U ) ) z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
107	44, 105, 106	mpbir2and 957	1 |- ( U e. V -> J e. (Subcat ` (RingCatALTV ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   |` cres 5116   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   Hom _f chomf 16327   C__cat cssc 16467  Subcatcsubc 16469   Ringcrg 18547   RingHom crh 18712  RingCatALTVcringcALTV 42004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-cat 16329  df-cid 16330  df-homf 16331  df-ssc 16470  df-subc 16472  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-rnghom 18715  df-ringcALTV 42006

This theorem is referenced by:  sringcatALTV  42095  crhmsubcALTV  42096  drhmsubcALTV  42098  fldhmsubcALTV  42102