Theorem sstotbnd 33574

Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
sstotbnd.2	|- N = ( M |` ( Y X. Y ) )

Assertion

Ref	Expression
sstotbnd	|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. Fin ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )

Distinct variable groups:   b, d, v, x, M   X, b, d, v, x   N, d, v, x   Y, b, d, v, x

Allowed substitution hint:   N( b)

Proof of Theorem sstotbnd

Dummy variables f u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstotbnd.2	. . 3 |- N = ( M |` ( Y X. Y ) )
2	1	sstotbnd2 33573	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. u e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) ) )
3		elfpw 8268	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( u C_ X /\ u e. Fin ) )
4	3	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P X i^i Fin ) -> u e. Fin )
5		mptfi 8265	. . . . . . . 8 |- ( u e. Fin -> ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin )
6		rnfi 8249	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin -> ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin )
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ~P X i^i Fin ) -> ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin )
8	7	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( u e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) ) ) -> ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin )
9		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( u e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) ) ) -> Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) )
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) = ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) )
11	10	rnmpt 5371	. . . . . . 7 |- ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) = { b | E. x e. u b = ( x ( ball ` M ) d ) }
12	3	simplbi 476	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( ~P X i^i Fin ) -> u C_ X )
13		ssrexv 3667	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ X -> ( E. x e. u b = ( x ( ball ` M ) d ) -> E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( ~P X i^i Fin ) -> ( E. x e. u b = ( x ( ball ` M ) d ) -> E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
15	14	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( u e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) ) ) -> ( E. x e. u b = ( x ( ball ` M ) d ) -> E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
16	15	ss2abdv 3675	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( u e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) ) ) -> { b | E. x e. u b = ( x ( ball ` M ) d ) } C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } )
17	11, 16	syl5eqss 3649	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( u e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) ) ) -> ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } )
18		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> U. v = U. ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) )
19		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( ball ` M ) d ) e. _V
20	19	dfiun3 5380	. . . . . . . . . 10 |- U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) = U. ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) )
21	18, 20	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( v = ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> U. v = U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) )
22	21	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( v = ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( Y C_ U. v <-> Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) ) )
23		ssabral 3673	. . . . . . . . 9 |- ( v C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } <-> A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) )
24		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( v = ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( v C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } <-> ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } ) )
25	23, 24	syl5bbr 274	. . . . . . . 8 |- ( v = ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) <-> ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } ) )
26	22, 25	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( v = ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) <-> ( Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) /\ ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } ) ) )
27	26	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) e. Fin /\ ( Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) /\ ran ( x e. u |-> ( x ( ball ` M ) d ) ) C_ { b | E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) } ) ) -> E. v e. Fin ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
28	8, 9, 17, 27	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( u e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) ) ) -> E. v e. Fin ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
29	28	rexlimdvaa 3032	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. u e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) -> E. v e. Fin ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
30		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f ` b ) -> ( x ( ball ` M ) d ) = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
31	30	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( f ` b ) -> ( b = ( x ( ball ` M ) d ) <-> b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
32	31	ac6sfi 8204	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. Fin /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) -> E. f ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
33	32	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) -> E. f ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
34	33	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> E. f ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
35		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( f : v --> X -> ran f C_ X )
36	35	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> ran f C_ X )
37		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> v e. Fin )
38		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : v --> X -> f Fn v )
39	38	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> f Fn v )
40		dffn4 6121	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn v <-> f : v -onto-> ran f )
41	39, 40	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> f : v -onto-> ran f )
42		fofi 8252	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. Fin /\ f : v -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
43	37, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> ran f e. Fin )
44		elfpw 8268	. . . . . . . 8 |- ( ran f e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( ran f C_ X /\ ran f e. Fin ) )
45	36, 43, 44	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> ran f e. ( ~P X i^i Fin ) )
46		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> Y C_ U. v )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> Y C_ U. v )
48		uniiun 4573	. . . . . . . . . . 11 |- U. v = U_ b e. v b
49		iuneq2 4537	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) -> U_ b e. v b = U_ b e. v ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
50	48, 49	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) -> U. v = U_ b e. v ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
51	50	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> U. v = U_ b e. v ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
52	47, 51	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> Y C_ U_ b e. v ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
53	30	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( f ` b ) -> ( y e. ( x ( ball ` M ) d ) <-> y e. ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
54	53	rexrn 6361	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn v -> ( E. x e. ran f y e. ( x ( ball ` M ) d ) <-> E. b e. v y e. ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
55		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) <-> E. x e. ran f y e. ( x ( ball ` M ) d ) )
56		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U_ b e. v ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) <-> E. b e. v y e. ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
57	54, 55, 56	3bitr4g 303	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn v -> ( y e. U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) <-> y e. U_ b e. v ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) )
58	57	eqrdv 2620	. . . . . . . . 9 |- ( f Fn v -> U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) = U_ b e. v ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
59	39, 58	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) = U_ b e. v ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) )
60	52, 59	sseqtr4d 3642	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> Y C_ U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) )
61		iuneq1 4534	. . . . . . . . 9 |- ( u = ran f -> U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) = U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) )
62	61	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( u = ran f -> ( Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) <-> Y C_ U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) ) )
63	62	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ran f e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. ran f ( x ( ball ` M ) d ) ) -> E. u e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) )
64	45, 60, 63	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) /\ ( f : v --> X /\ A. b e. v b = ( ( f ` b ) ( ball ` M ) d ) ) ) -> E. u e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) )
65	34, 64	exlimddv 1863	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ ( v e. Fin /\ ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) ) -> E. u e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) )
66	65	rexlimdvaa 3032	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. v e. Fin ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) -> E. u e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) ) )
67	29, 66	impbid 202	. . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. u e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) <-> E. v e. Fin ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
68	67	ralbidv 2986	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( A. d e. RR+ E. u e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. u ( x ( ball ` M ) d ) <-> A. d e. RR+ E. v e. Fin ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
69	2, 68	bitrd 268	1 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. Fin ( Y C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RR+crp 11832   Metcme 19732   ballcbl 19733   TotBndctotbnd 33565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-totbnd 33567

This theorem is referenced by:  totbndss  33576