Theorem sstotbnd3 33575

Description: Use a net that is not necessarily finite, but for which only finitely many balls meet the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
sstotbnd.2	|- N = ( M |` ( Y X. Y ) )

Assertion

Ref	Expression
sstotbnd3	|- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ~P X ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) )

Distinct variable groups:   v, d, x, M   X, d, v, x   N, d, v, x   Y, d, v, x

Proof of Theorem sstotbnd3

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstotbnd.2	. . . 4 |- N = ( M |` ( Y X. Y ) )
2	1	sstotbnd2 33573	. . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
3		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( v e. ~P X /\ v e. Fin ) )
4		rabfi 8185	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. Fin -> { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin )
5	4	anim2i 593	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ~P X /\ v e. Fin ) -> ( v e. ~P X /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) )
6	3, 5	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> ( v e. ~P X /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) )
7	6	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ v e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ ( v e. ~P X /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
8	7	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ ( v e. ~P X /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
9		an12 838	. . . . . 6 |- ( ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ ( v e. ~P X /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) <-> ( v e. ~P X /\ ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
10	8, 9	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( v e. ~P X /\ ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
11	10	reximi2 3010	. . . 4 |- ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> E. v e. ~P X ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) )
12	11	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> A. d e. RR+ E. v e. ~P X ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) )
13	2, 12	syl6bi 243	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) -> A. d e. RR+ E. v e. ~P X ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
14		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } C_ v
15		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. ~P X -> v C_ X )
16	15	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ v e. ~P X ) /\ ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) -> v C_ X )
17	14, 16	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ v e. ~P X ) /\ ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) -> { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } C_ X )
18		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ v e. ~P X ) /\ ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) -> { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin )
19		elfpw 8268	. . . . . . . 8 |- ( { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } C_ X /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) )
20	17, 18, 19	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ v e. ~P X ) /\ ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) -> { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. ( ~P X i^i Fin ) )
21		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ z e. Y ) -> z e. U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) )
22		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) <-> E. x e. v z e. ( x ( ball ` M ) d ) )
23	21, 22	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ z e. Y ) -> E. x e. v z e. ( x ( ball ` M ) d ) )
24		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( x ( ball ` M ) d ) /\ z e. Y ) -> ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) )
25	24	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Y -> ( z e. ( x ( ball ` M ) d ) -> ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) ) )
26	25	ancrd 577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Y -> ( z e. ( x ( ball ` M ) d ) -> ( ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) /\ z e. ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
27	26	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Y -> ( E. x e. v z e. ( x ( ball ` M ) d ) -> E. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) /\ z e. ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
28	27	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E. x e. v z e. ( x ( ball ` M ) d ) /\ z e. Y ) -> E. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) /\ z e. ( x ( ball ` M ) d ) ) )
29	23, 28	sylancom 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ z e. Y ) -> E. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) /\ z e. ( x ( ball ` M ) d ) ) )
30		eliun 4524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U_ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } ( y ( ball ` M ) d ) <-> E. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } z e. ( y ( ball ` M ) d ) )
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( y ( ball ` M ) d ) = ( x ( ball ` M ) d ) )
32	31	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( z e. ( y ( ball ` M ) d ) <-> z e. ( x ( ball ` M ) d ) ) )
33	32	rexrab2 3374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } z e. ( y ( ball ` M ) d ) <-> E. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) /\ z e. ( x ( ball ` M ) d ) ) )
34	30, 33	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. U_ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } ( y ( ball ` M ) d ) <-> E. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) /\ z e. ( x ( ball ` M ) d ) ) )
35	29, 34	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ z e. Y ) -> z e. U_ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } ( y ( ball ` M ) d ) )
36	35	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> ( z e. Y -> z e. U_ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } ( y ( ball ` M ) d ) ) )
37	36	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> Y C_ U_ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } ( y ( ball ` M ) d ) )
38	37	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ v e. ~P X ) /\ ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) -> Y C_ U_ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } ( y ( ball ` M ) d ) )
39		iuneq1 4534	. . . . . . . . 9 |- ( w = { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } -> U_ y e. w ( y ( ball ` M ) d ) = U_ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } ( y ( ball ` M ) d ) )
40	39	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( w = { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } -> ( Y C_ U_ y e. w ( y ( ball ` M ) d ) <-> Y C_ U_ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } ( y ( ball ` M ) d ) ) )
41	40	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } ( y ( ball ` M ) d ) ) -> E. w e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ y e. w ( y ( ball ` M ) d ) )
42	20, 38, 41	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ v e. ~P X ) /\ ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) -> E. w e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ y e. w ( y ( ball ` M ) d ) )
43	42	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ v e. ~P X ) -> ( ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) -> E. w e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ y e. w ( y ( ball ` M ) d ) ) )
44	43	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( E. v e. ~P X ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) -> E. w e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ y e. w ( y ( ball ` M ) d ) ) )
45	44	ralimdv 2963	. . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ~P X ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) -> A. d e. RR+ E. w e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ y e. w ( y ( ball ` M ) d ) ) )
46	1	sstotbnd2 33573	. . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. w e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ y e. w ( y ( ball ` M ) d ) ) )
47	45, 46	sylibrd 249	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ~P X ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) -> N e. ( TotBnd ` Y ) ) )
48	13, 47	impbid 202	1 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ~P X ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RR+crp 11832   Metcme 19732   ballcbl 19733   TotBndctotbnd 33565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-totbnd 33567

This theorem is referenced by:  cntotbnd  33595