Theorem subfaclefac 31158

Description: The subfactorial is less than the factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	|- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
subfac.n	|- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
subfaclefac	|- ( N e. NN0 -> ( S ` N ) <_ ( ! ` N ) )

Distinct variable groups:   f, n, x, y, N   D, n   S, n, x, y

Allowed substitution hints:   D( x, y, f)   S( f)

Proof of Theorem subfaclefac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anidm 676	. . . . . 6 |- ( ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) ) <-> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
2	1	abbii 2739	. . . . 5 |- { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) ) } = { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) }
3		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 1 ... N ) e. Fin )
4		deranglem 31148	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) ) } e. Fin )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) ) } e. Fin )
6	2, 5	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } e. Fin )
7		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
8	7	ss2abi 3674	. . . 4 |- { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } C_ { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) }
9		ssdomg 8001	. . . 4 |- ( { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } e. Fin -> ( { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } C_ { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } -> { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
10	6, 8, 9	mpisyl 21	. . 3 |- ( N e. NN0 -> { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } )
11		deranglem 31148	. . . . 5 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin )
12	3, 11	syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin )
13		hashdom 13168	. . . 4 |- ( ( { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin /\ { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } e. Fin ) -> ( ( # ` { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } ) <_ ( # ` { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) <-> { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
14	12, 6, 13	syl2anc 693	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( # ` { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } ) <_ ( # ` { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) <-> { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
15	10, 14	mpbird 247	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( # ` { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } ) <_ ( # ` { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
16		derang.d	. . . 4 |- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
17		subfac.n	. . . 4 |- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) )
18	16, 17	subfacval 31155	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( S ` N ) = ( D ` ( 1 ... N ) ) )
19	16	derangval 31149	. . . 4 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( D ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } ) )
20	3, 19	syl 17	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( D ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } ) )
21	18, 20	eqtrd 2656	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( S ` N ) = ( # ` { f | ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ A. y e. ( 1 ... N ) ( f ` y ) =/= y ) } ) )
22		hashfac 13242	. . . 4 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( # ` { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) = ( ! ` ( # ` ( 1 ... N ) ) ) )
23	3, 22	syl 17	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( # ` { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) = ( ! ` ( # ` ( 1 ... N ) ) ) )
24		hashfz1 13134	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
25	24	fveq2d 6195	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` ( # ` ( 1 ... N ) ) ) = ( ! ` N ) )
26	23, 25	eqtr2d 2657	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) = ( # ` { f | f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) } ) )
27	15, 21, 26	3brtr4d 4685	1 |- ( N e. NN0 -> ( S ` N ) <_ ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   1c1 9937   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   !cfa 13060   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118

This theorem is referenced by: (None)