Theorem hashfac 13242

Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfac	|- ( A e. Fin -> ( # ` { f | f : A -1-1-onto-> A } ) = ( ! ` ( # ` A ) ) )

Distinct variable group:   A, f

Proof of Theorem hashfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf1 13241	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( # ` { f | f : A -1-1-> A } ) = ( ( ! ` ( # ` A ) ) x. ( ( # ` A ) _C ( # ` A ) ) ) )
2	1	anidms 677	. 2 |- ( A e. Fin -> ( # ` { f | f : A -1-1-> A } ) = ( ( ! ` ( # ` A ) ) x. ( ( # ` A ) _C ( # ` A ) ) ) )
3		enrefg 7987	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> A ~~ A )
4		f1finf1o 8187	. . . . 5 |- ( ( A ~~ A /\ A e. Fin ) -> ( f : A -1-1-> A <-> f : A -1-1-onto-> A ) )
5	3, 4	mpancom 703	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( f : A -1-1-> A <-> f : A -1-1-onto-> A ) )
6	5	abbidv 2741	. . 3 |- ( A e. Fin -> { f | f : A -1-1-> A } = { f | f : A -1-1-onto-> A } )
7	6	fveq2d 6195	. 2 |- ( A e. Fin -> ( # ` { f | f : A -1-1-> A } ) = ( # ` { f | f : A -1-1-onto-> A } ) )
8		hashcl 13147	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
9		bcnn 13099	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( # ` A ) _C ( # ` A ) ) = 1 )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) _C ( # ` A ) ) = 1 )
11	10	oveq2d 6666	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( ! ` ( # ` A ) ) x. ( ( # ` A ) _C ( # ` A ) ) ) = ( ( ! ` ( # ` A ) ) x. 1 ) )
12		faccl 13070	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ! ` ( # ` A ) ) e. NN )
13	8, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( ! ` ( # ` A ) ) e. NN )
14	13	nncnd 11036	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ! ` ( # ` A ) ) e. CC )
15	14	mulid1d 10057	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( ! ` ( # ` A ) ) x. 1 ) = ( ! ` ( # ` A ) ) )
16	11, 15	eqtrd 2656	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( ! ` ( # ` A ) ) x. ( ( # ` A ) _C ( # ` A ) ) ) = ( ! ` ( # ` A ) ) )
17	2, 7, 16	3eqtr3d 2664	1 |- ( A e. Fin -> ( # ` { f | f : A -1-1-onto-> A } ) = ( ! ` ( # ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   class class class wbr 4653   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   NN0cn0 11292   !cfa 13060   _C cbc 13089   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  symghash  17805  subfaclefac  31158  poimirlem9  33418