Theorem supxrge 39554

Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is smaller or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrge.xph	|- F/ x ph
supxrge.a	|- ( ph -> A C_ RR* )
supxrge.b	|- ( ph -> B e. RR* )
supxrge.y	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e x ) )

Assertion

Ref	Expression
supxrge	|- ( ph -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem supxrge

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrge.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR* )
2		pnfge 11964	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> B <_ +oo )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> B <_ +oo )
5		supxrge.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR* )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> A C_ RR* )
7		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> +oo e. A )
8		supxrpnf 12148	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ +oo e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
9	6, 7, 8	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
10	9	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> +oo = sup ( A , RR* , < ) )
11	4, 10	breqtrd 4679	. 2 |- ( ( ph /\ +oo e. A ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )
12		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = -oo ) -> B = -oo )
13		supxrcl 12145	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
14	5, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
15		mnfle 11969	. . . . . . 7 |- ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* -> -oo <_ sup ( A , RR* , < ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> -oo <_ sup ( A , RR* , < ) )
17	16	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = -oo ) -> -oo <_ sup ( A , RR* , < ) )
18	12, 17	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = -oo ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )
19	18	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B = -oo ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )
20		simpl 473	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ -. B = -oo ) -> ( ph /\ -. +oo e. A ) )
21		neqne 2802	. . . . 5 |- ( -. B = -oo -> B =/= -oo )
22	21	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ -. B = -oo ) -> B =/= -oo )
23		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ w ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo )
24	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> A C_ RR* )
25	24	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) -> A C_ RR* )
26	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> B e. RR* )
27	26	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) -> B e. RR* )
28		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ph )
29		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. RR+ -> ( w / 2 ) e. RR+ )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( w / 2 ) e. RR+ )
31		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( w / 2 ) e. _V
32		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( w / 2 )
33		supxrge.xph	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ph
34		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( w / 2 ) e. RR+
35	33, 34	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ )
36		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) )
37	35, 36	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) )
38		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w / 2 ) -> ( x e. RR+ <-> ( w / 2 ) e. RR+ ) )
39	38	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( w / 2 ) -> ( ( ph /\ x e. RR+ ) <-> ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) ) )
40		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( w / 2 ) -> ( y +e x ) = ( y +e ( w / 2 ) ) )
41	40	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( w / 2 ) -> ( B <_ ( y +e x ) <-> B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) )
42	41	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( w / 2 ) -> ( E. y e. A B <_ ( y +e x ) <-> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) )
43	39, 42	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( w / 2 ) -> ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e x ) ) <-> ( ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) ) )
44		supxrge.y	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e x ) )
45	32, 37, 43, 44	vtoclgf 3264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w / 2 ) e. _V -> ( ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) )
46	31, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w / 2 ) e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) )
47	28, 30, 46	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) )
48	47	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ w e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) )
49	48	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) )
50		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ y ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ )
51		neneq 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B =/= -oo -> -. B = -oo )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ B =/= -oo ) -> -. B = -oo )
53	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ B =/= -oo ) -> B e. RR* )
54		ngtmnft 11997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. RR* -> ( B = -oo <-> -. -oo < B ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ B =/= -oo ) -> ( B = -oo <-> -. -oo < B ) )
56	52, 55	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B =/= -oo ) -> -. -. -oo < B )
57	56	notnotrd 128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ B =/= -oo ) -> -oo < B )
58	57	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> -oo < B )
59	58	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> -oo < B )
60	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> B e. RR* )
61	60	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> B e. RR* )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B e. RR* )
63		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> -oo e. RR* )
65		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> -. -oo < y )
67	5	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. RR* )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> y e. RR* )
69		ngtmnft 11997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. RR* -> ( y = -oo <-> -. -oo < y ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y = -oo <-> -. -oo < y ) )
71	66, 70	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> y = -oo )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = ( -oo +e ( w / 2 ) ) )
73	72	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = ( -oo +e ( w / 2 ) ) )
74	29	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( w e. RR+ -> ( w / 2 ) e. RR* )
75	29	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. RR+ -> ( w / 2 ) e. RR )
76		renepnf 10087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( w / 2 ) e. RR -> ( w / 2 ) =/= +oo )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( w e. RR+ -> ( w / 2 ) =/= +oo )
78		xaddmnf2 12060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( w / 2 ) e. RR* /\ ( w / 2 ) =/= +oo ) -> ( -oo +e ( w / 2 ) ) = -oo )
79	74, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. RR+ -> ( -oo +e ( w / 2 ) ) = -oo )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( -oo +e ( w / 2 ) ) = -oo )
81	80	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( -oo +e ( w / 2 ) ) = -oo )
82	73, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = -oo )
83	82	adantlllr 39199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = -oo )
84	83	adantlllr 39199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = -oo )
85	84	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = -oo )
86	65, 85	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B <_ -oo )
87		mnfle 11969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. RR* -> -oo <_ B )
88	1, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> -oo <_ B )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> -oo <_ B )
90	89	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ -. -oo < y ) -> -oo <_ B )
91	90	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> -oo <_ B )
92	62, 64, 86, 91	xrletrid 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B = -oo )
93		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ -. -oo < y ) -> B =/= -oo )
94	93	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B =/= -oo )
95	94	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> -. B = -oo )
96	92, 95	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> -oo < y )
97		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> -. y < +oo )
98	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> y e. RR* )
99		nltpnft 11995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. RR* -> ( y = +oo <-> -. y < +oo ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> ( y = +oo <-> -. y < +oo ) )
101	97, 100	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> y = +oo )
102	101	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> +oo = y )
103		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. A )
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> y e. A )
105	102, 104	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> +oo e. A )
106	105	3adantl2 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> +oo e. A )
107		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A /\ y e. A ) /\ -. y < +oo ) -> -. +oo e. A )
108	106, 107	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A /\ y e. A ) -> y < +oo )
109	108	ad5ant125 1312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) -> y < +oo )
110	109	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> y < +oo )
111	96, 110	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( -oo < y /\ y < +oo ) )
112	67	ad5ant15 1303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A ) -> y e. RR* )
113	112	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> y e. RR* )
114		xrrebnd 11999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR* -> ( y e. RR <-> ( -oo < y /\ y < +oo ) ) )
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y e. RR <-> ( -oo < y /\ y < +oo ) ) )
116	111, 115	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> y e. RR )
117	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> ( w / 2 ) e. RR )
118	117	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( w / 2 ) e. RR )
119		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ ( w / 2 ) e. RR ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = ( y + ( w / 2 ) ) )
120	116, 118, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) = ( y + ( w / 2 ) ) )
121	116, 118	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y + ( w / 2 ) ) e. RR )
122	120, 121	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) e. RR )
123	122	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) e. RR* )
124		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> +oo e. RR* )
126		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) )
127	122	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) < +oo )
128	61, 123, 125, 126, 127	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> B < +oo )
129	59, 128	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( -oo < B /\ B < +oo ) )
130		xrrebnd 11999	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR* -> ( B e. RR <-> ( -oo < B /\ B < +oo ) ) )
131	61, 130	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( B e. RR <-> ( -oo < B /\ B < +oo ) ) )
132	129, 131	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> B e. RR )
133		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. RR+ -> w e. RR )
134	133	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> w e. RR )
135	134	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> w e. RR )
136		rexadd 12063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ w e. RR ) -> ( y +e w ) = ( y + w ) )
137	116, 135, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e w ) = ( y + w ) )
138	116, 135	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y + w ) e. RR )
139	137, 138	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e w ) e. RR )
140		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. RR+ -> ( w / 2 ) < w )
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> ( w / 2 ) < w )
142	141	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( w / 2 ) < w )
143	118, 135, 116, 142	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y + ( w / 2 ) ) < ( y + w ) )
144	120, 137	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( ( y +e ( w / 2 ) ) < ( y +e w ) <-> ( y + ( w / 2 ) ) < ( y + w ) ) )
145	143, 144	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> ( y +e ( w / 2 ) ) < ( y +e w ) )
146	132, 122, 139, 126, 145	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) /\ y e. A /\ B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) ) -> B < ( y +e w ) )
147	146	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> ( y e. A -> ( B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) -> B < ( y +e w ) ) ) )
148	50, 147	reximdai 3012	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> ( E. y e. A B <_ ( y +e ( w / 2 ) ) -> E. y e. A B < ( y +e w ) ) )
149	49, 148	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) /\ w e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e w ) )
150	23, 25, 27, 149	supxrgelem 39553	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ B =/= -oo ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )
151	20, 22, 150	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. A ) /\ -. B = -oo ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )
152	19, 151	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ( ph /\ -. +oo e. A ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )
153	11, 152	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   +ecxad 11944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xadd 11947

This theorem is referenced by:  sge0gerp  40612