Theorem symgbasfi 17806

Description: The symmetric group on a finite index set is finite. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	|- G = ( SymGrp ` A )
symgbas.2	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
symgbasfi	|- ( A e. Fin -> B e. Fin )

Proof of Theorem symgbasfi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfi 8262	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( A ^m A ) e. Fin )
2	1	anidms 677	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A ^m A ) e. Fin )
3		symgbas.1	. . . . 5 |- G = ( SymGrp ` A )
4		symgbas.2	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5	3, 4	symgbas 17800	. . . 4 |- B = { f | f : A -1-1-onto-> A }
6		f1of 6137	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> A -> f : A --> A )
7	6	ss2abi 3674	. . . 4 |- { f | f : A -1-1-onto-> A } C_ { f | f : A --> A }
8	5, 7	eqsstri 3635	. . 3 |- B C_ { f | f : A --> A }
9		mapvalg 7867	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( A ^m A ) = { f | f : A --> A } )
10	9	anidms 677	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A ^m A ) = { f | f : A --> A } )
11	8, 10	syl5sseqr 3654	. 2 |- ( A e. Fin -> B C_ ( A ^m A ) )
12		ssfi 8180	. 2 |- ( ( ( A ^m A ) e. Fin /\ B C_ ( A ^m A ) ) -> B e. Fin )
13	2, 11, 12	syl2anc 693	1 |- ( A e. Fin -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   C_ wss 3574   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  mdetleib2  20394  mdetf  20401  mdetrlin  20408  mdetrsca  20409  mdetralt  20414  m2detleib  20437  smadiadetlem3  20474  smadiadet  20476  mdetpmtr1  29889