Theorem tglineineq 25538

Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	|- P = ( Base ` G )
tglineintmo.i	|- I = (Itv ` G )
tglineintmo.l	|- L = (LineG ` G )
tglineintmo.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tglineintmo.a	|- ( ph -> A e. ran L )
tglineintmo.b	|- ( ph -> B e. ran L )
tglineintmo.c	|- ( ph -> A =/= B )
tglineineq.x	|- ( ph -> X e. ( A i^i B ) )
tglineineq.y	|- ( ph -> Y e. ( A i^i B ) )

Assertion

Ref	Expression
tglineineq	|- ( ph -> X = Y )

Proof of Theorem tglineineq

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineineq.x	. 2 |- ( ph -> X e. ( A i^i B ) )
2		tglineineq.y	. 2 |- ( ph -> Y e. ( A i^i B ) )
3		tglineintmo.p	. . 3 |- P = ( Base ` G )
4		tglineintmo.i	. . 3 |- I = (Itv ` G )
5		tglineintmo.l	. . 3 |- L = (LineG ` G )
6		tglineintmo.g	. . 3 |- ( ph -> G e. TarskiG )
7		tglineintmo.a	. . 3 |- ( ph -> A e. ran L )
8		tglineintmo.b	. . 3 |- ( ph -> B e. ran L )
9		tglineintmo.c	. . 3 |- ( ph -> A =/= B )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tglineintmo 25537	. 2 |- ( ph -> E* x ( x e. A /\ x e. B ) )
11		elin 3796	. . 3 |- ( X e. ( A i^i B ) <-> ( X e. A /\ X e. B ) )
12	1, 11	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( X e. A /\ X e. B ) )
13		elin 3796	. . 3 |- ( Y e. ( A i^i B ) <-> ( Y e. A /\ Y e. B ) )
14	2, 13	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( Y e. A /\ Y e. B ) )
15		eleq1 2689	. . . 4 |- ( x = X -> ( x e. A <-> X e. A ) )
16		eleq1 2689	. . . 4 |- ( x = X -> ( x e. B <-> X e. B ) )
17	15, 16	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = X -> ( ( x e. A /\ x e. B ) <-> ( X e. A /\ X e. B ) ) )
18		eleq1 2689	. . . 4 |- ( x = Y -> ( x e. A <-> Y e. A ) )
19		eleq1 2689	. . . 4 |- ( x = Y -> ( x e. B <-> Y e. B ) )
20	18, 19	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = Y -> ( ( x e. A /\ x e. B ) <-> ( Y e. A /\ Y e. B ) ) )
21	17, 20	moi 3389	. 2 |- ( ( ( X e. ( A i^i B ) /\ Y e. ( A i^i B ) ) /\ E* x ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( ( X e. A /\ X e. B ) /\ ( Y e. A /\ Y e. B ) ) ) -> X = Y )
22	1, 2, 10, 12, 14, 21	syl212anc 1336	1 |- ( ph -> X = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   =/= wne 2794   i^i cin 3573   ran crn 5115   ` cfv 5888   Basecbs 15857  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406

This theorem is referenced by:  isperp2  25610  footne  25615  lnopp2hpgb  25655  colopp  25661  lmieu  25676