Theorem colopp 25661

Description: Opposite sides of a line for colinear points. Theorem 9.18 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	|- P = ( Base ` G )
hpgid.i	|- I = (Itv ` G )
hpgid.l	|- L = (LineG ` G )
hpgid.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
hpgid.d	|- ( ph -> D e. ran L )
hpgid.a	|- ( ph -> A e. P )
hpgid.o	|- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
colopp.b	|- ( ph -> B e. P )
colopp.p	|- ( ph -> C e. D )
colopp.1	|- ( ph -> ( C e. ( A L B ) \/ A = B ) )

Assertion

Ref	Expression
colopp	|- ( ph -> ( A O B <-> ( C e. ( A I B ) /\ -. A e. D /\ -. B e. D ) ) )

Distinct variable groups:   t, A   t, B   D, a, b, t   G, a, b, t   I, a, b, t   O, a, b, t   P, a, b, t   ph, t   t, C   L, a, b, t

Allowed substitution hints:   ph( a, b)   A( a, b)   B( a, b)   C( a, b)

Proof of Theorem colopp

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgid.p	. . . . . . . 8 |- P = ( Base ` G )
2		hpgid.i	. . . . . . . 8 |- I = (Itv ` G )
3		hpgid.l	. . . . . . . 8 |- L = (LineG ` G )
4		hpgid.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> G e. TarskiG )
6		hpgid.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. P )
7	6	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> A e. P )
8		colopp.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. P )
9	8	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> B e. P )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
11		hpgid.o	. . . . . . . . . 10 |- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
12		hpgid.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ran L )
13	12	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> D e. ran L )
14		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> ( -. A e. D /\ -. B e. D ) )
15	14	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> -. A e. D )
16	14	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> -. B e. D )
17		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> y e. D )
18		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = y -> ( t e. ( A I B ) <-> y e. ( A I B ) ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) /\ t = y ) -> ( t e. ( A I B ) <-> y e. ( A I B ) ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> y e. ( A I B ) )
21	17, 19, 20	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> E. t e. D t e. ( A I B ) )
22	15, 16, 21	jca31 557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> ( ( -. A e. D /\ -. B e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I B ) ) )
23	1, 10, 2, 11, 6, 8	islnopp 25631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A O B <-> ( ( -. A e. D /\ -. B e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I B ) ) ) )
24	23	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> ( A O B <-> ( ( -. A e. D /\ -. B e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I B ) ) ) )
25	22, 24	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> A O B )
26	1, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 25	oppne3 25635	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> A =/= B )
27	1, 2, 3, 5, 7, 9, 26	tgelrnln 25525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> ( A L B ) e. ran L )
28	1, 2, 3, 5, 7, 9, 26	tglinerflx1 25528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> A e. ( A L B ) )
29	1, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 25	oppne1 25633	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> -. A e. D )
30		nelne1 2890	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( A L B ) /\ -. A e. D ) -> ( A L B ) =/= D )
31	28, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> ( A L B ) =/= D )
32	26	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> -. A = B )
33		colopp.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C e. ( A L B ) \/ A = B ) )
34	33	orcomd 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A = B \/ C e. ( A L B ) ) )
35	34	ord 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -. A = B -> C e. ( A L B ) ) )
36	35	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> ( -. A = B -> C e. ( A L B ) ) )
37	32, 36	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> C e. ( A L B ) )
38		colopp.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. D )
39	38	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> C e. D )
40	37, 39	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> C e. ( ( A L B ) i^i D ) )
41	1, 3, 2, 5, 13, 17	tglnpt 25444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> y e. P )
42	1, 2, 3, 5, 7, 9, 41, 26, 20	btwnlng1 25514	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> y e. ( A L B ) )
43	42, 17	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> y e. ( ( A L B ) i^i D ) )
44	1, 2, 3, 5, 27, 13, 31, 40, 43	tglineineq 25538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> C = y )
45	44, 20	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> C e. ( A I B ) )
46	45	adantllr 755	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ E. t e. D t e. ( A I B ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( A I B ) ) -> C e. ( A I B ) )
47		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ E. t e. D t e. ( A I B ) ) -> E. t e. D t e. ( A I B ) )
48	18	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. t e. D t e. ( A I B ) <-> E. y e. D y e. ( A I B ) )
49	47, 48	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ E. t e. D t e. ( A I B ) ) -> E. y e. D y e. ( A I B ) )
50	46, 49	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ E. t e. D t e. ( A I B ) ) -> C e. ( A I B ) )
51	38	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> C e. D )
52		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) /\ t = C ) -> t = C )
53	52	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) /\ t = C ) -> ( t e. ( A I B ) <-> C e. ( A I B ) ) )
54		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> C e. ( A I B ) )
55	51, 53, 54	rspcedvd 3317	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> E. t e. D t e. ( A I B ) )
56	55	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) /\ C e. ( A I B ) ) -> E. t e. D t e. ( A I B ) )
57	50, 56	impbida 877	. . 3 |- ( ( ph /\ ( -. A e. D /\ -. B e. D ) ) -> ( E. t e. D t e. ( A I B ) <-> C e. ( A I B ) ) )
58	57	pm5.32da 673	. 2 |- ( ph -> ( ( ( -. A e. D /\ -. B e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I B ) ) <-> ( ( -. A e. D /\ -. B e. D ) /\ C e. ( A I B ) ) ) )
59		3anrot 1043	. . . 4 |- ( ( C e. ( A I B ) /\ -. A e. D /\ -. B e. D ) <-> ( -. A e. D /\ -. B e. D /\ C e. ( A I B ) ) )
60		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( -. A e. D /\ -. B e. D /\ C e. ( A I B ) ) <-> ( ( -. A e. D /\ -. B e. D ) /\ C e. ( A I B ) ) )
61	59, 60	bitri 264	. . 3 |- ( ( C e. ( A I B ) /\ -. A e. D /\ -. B e. D ) <-> ( ( -. A e. D /\ -. B e. D ) /\ C e. ( A I B ) ) )
62	61	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. ( A I B ) /\ -. A e. D /\ -. B e. D ) <-> ( ( -. A e. D /\ -. B e. D ) /\ C e. ( A I B ) ) ) )
63	58, 23, 62	3bitr4d 300	1 |- ( ph -> ( A O B <-> ( C e. ( A I B ) /\ -. A e. D /\ -. B e. D ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   {copab 4712   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406

This theorem is referenced by:  colhp  25662