Theorem topdifinffinlem 33195

Description: This is the core of the proof of topdifinffin 33196, but to avoid the distinct variables on the definition, we need to split this proof into two. (Contributed by ML, 17-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
topdifinf.t	|- T = { x e. ~P A | ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) }

Assertion

Ref	Expression
topdifinffinlem	|- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, T

Proof of Theorem topdifinffinlem

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ u -. A e. Fin
2		nfab1 2766	. . . . 5 |- F/_ u { u | E. y e. A u = { y } }
3		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ u T
4		abid 2610	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y e. A u = { y } )
5		df-rex 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A u = { y } <-> E. y ( y e. A /\ u = { y } ) )
6	4, 5	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y ( y e. A /\ u = { y } ) )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y } = { y }
8		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { y } e. _V
9		snelpwi 4912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. A -> { y } e. ~P A )
10		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = { y } -> ( x e. ~P A <-> { y } e. ~P A ) )
11	9, 10	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = { y } -> ( y e. A -> x e. ~P A ) )
12	11	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x = { y } /\ y e. A ) -> ( x = { y } /\ x e. ~P A ) )
13	12	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ y e. A ) ) -> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
14	13	3impb 1260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
15		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) <-> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
16	14, 15	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) )
17		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { y } e. Fin
18		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = { y } -> ( x e. Fin <-> { y } e. Fin ) )
19	17, 18	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = { y } -> x e. Fin )
20		difinf 8230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. A e. Fin /\ x e. Fin ) -> -. ( A \ x ) e. Fin )
21	19, 20	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) -> -. ( A \ x ) e. Fin )
22	21	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) -> ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) )
23	22	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ~P A /\ ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
24	23	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
25	24	3impa 1259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
26	16, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
27		topdifinf.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- T = { x e. ~P A | ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) }
28	27	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. T <-> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
29	26, 28	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> x e. T )
30		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = { y } -> ( x e. T <-> { y } e. T ) )
31	30	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( x e. T <-> { y } e. T ) )
32	29, 31	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
33	32	sbcth 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { y } e. _V -> [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) )
34	8, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
35		sbcimg 3477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) <-> ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T ) ) )
36	8, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) <-> ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T ) )
37	34, 36	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T )
38		sbc3an 3494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
39		sbcg 3503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin <-> -. A e. Fin ) )
40	8, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin <-> -. A e. Fin )
41	40	3anbi1i 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
42		eqsbc3 3475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. x = { y } <-> { y } = { y } ) )
43	8, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. { y } / x ]. x = { y } <-> { y } = { y } )
44	43	3anbi2i 1254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
45	38, 41, 44	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
46		sbcg 3503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. y e. A <-> y e. A ) )
47	8, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. { y } / x ]. y e. A <-> y e. A )
48	47	3anbi3i 1255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) )
49	45, 48	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) )
50		sbcg 3503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. { y } e. T <-> { y } e. T ) )
51	8, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. { y } e. T <-> { y } e. T )
52	37, 49, 51	3imtr3i 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
53	7, 52	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. A e. Fin /\ y e. A ) -> { y } e. T )
54	53	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A e. Fin -> ( y e. A -> { y } e. T ) )
55	54	pm4.71d 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. Fin -> ( y e. A <-> ( y e. A /\ { y } e. T ) ) )
56	55	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. Fin -> ( ( y e. A /\ u = { y } ) <-> ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
57	56	exbidv 1850	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> ( E. y ( y e. A /\ u = { y } ) <-> E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
58	6, 57	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
59		anass 681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) <-> ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
60	59	exbii 1774	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) <-> E. y ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
61		exsimpr 1796	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) )
62	60, 61	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) )
63	58, 62	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
64		ancom 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> ( u = { y } /\ { y } e. T ) )
65		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = { y } -> ( u e. T <-> { y } e. T ) )
66	65	pm5.32i 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = { y } /\ u e. T ) <-> ( u = { y } /\ { y } e. T ) )
67	64, 66	bitr4i 267	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> ( u = { y } /\ u e. T ) )
68	67	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> E. y ( u = { y } /\ u e. T ) )
69	63, 68	syl6ib 241	. . . . . . 7 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y ( u = { y } /\ u e. T ) ) )
70		exsimpr 1796	. . . . . . 7 |- ( E. y ( u = { y } /\ u e. T ) -> E. y u e. T )
71	69, 70	syl6 35	. . . . . 6 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y u e. T ) )
72		ax5e 1841	. . . . . 6 |- ( E. y u e. T -> u e. T )
73	71, 72	syl6 35	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> u e. T ) )
74	1, 2, 3, 73	ssrd 3608	. . . 4 |- ( -. A e. Fin -> { u | E. y e. A u = { y } } C_ T )
75		eqid 2622	. . . . 5 |- { u | E. y e. A u = { y } } = { u | E. y e. A u = { y } }
76	75	dissneq 33188	. . . 4 |- ( ( { u | E. y e. A u = { y } } C_ T /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> T = ~P A )
77	74, 76	sylan 488	. . 3 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> T = ~P A )
78		nfielex 8189	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> E. y y e. A )
79	78	adantr 481	. . . 4 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> E. y y e. A )
80		difss 3737	. . . . . . 7 |- ( A \ { y } ) C_ A
81		elfvex 6221	. . . . . . . 8 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. _V )
82		difexg 4808	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( A \ { y } ) e. _V )
83		elpwg 4166	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { y } ) e. _V -> ( ( A \ { y } ) e. ~P A <-> ( A \ { y } ) C_ A ) )
84	81, 82, 83	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. ~P A <-> ( A \ { y } ) C_ A ) )
85	80, 84	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( A \ { y } ) e. ~P A )
86	85	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( A \ { y } ) e. ~P A )
87		difinf 8230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } e. Fin ) -> -. ( A \ { y } ) e. Fin )
88	17, 87	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. Fin -> -. ( A \ { y } ) e. Fin )
89		0fin 8188	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. Fin
90		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A \ { y } ) = (/) -> ( ( A \ { y } ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
91	89, 90	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ { y } ) = (/) -> ( A \ { y } ) e. Fin )
92	88, 91	nsyl 135	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> -. ( A \ { y } ) = (/) )
93	92	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) = (/) )
94		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. { y }
95		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ y e. { y } ) -> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
96	94, 95	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
97		disj4 4025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A i^i { y } ) = (/) <-> -. ( A \ { y } ) C. A )
98	97	necon2abii 2844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ { y } ) C. A <-> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
99	96, 98	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( A \ { y } ) C. A )
100	99	pssned 3705	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( A \ { y } ) =/= A )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( A \ { y } ) =/= A )
102	101	neneqd 2799	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) = A )
103	93, 102	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( -. ( A \ { y } ) = (/) /\ -. ( A \ { y } ) = A ) )
104		pm4.56 516	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( A \ { y } ) = (/) /\ -. ( A \ { y } ) = A ) <-> -. ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) )
105	103, 104	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) )
106	85	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) <-> ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) ) )
107		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( A \ x ) = ( A \ ( A \ { y } ) ) )
108	107	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin ) )
109	108	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( -. ( A \ x ) e. Fin <-> -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin ) )
110		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( x = (/) <-> ( A \ { y } ) = (/) ) )
111		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( x = A <-> ( A \ { y } ) = A ) )
112	110, 111	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( x = (/) \/ x = A ) <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
113	109, 112	orbi12d 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
114	113, 27	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
115	106, 114	syl6rbbr 279	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
116		dfin4 3867	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { y } ) = ( A \ ( A \ { y } ) )
117		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { y } ) C_ { y }
118		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y } e. Fin /\ ( A i^i { y } ) C_ { y } ) -> ( A i^i { y } ) e. Fin )
119	17, 117, 118	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { y } ) e. Fin
120	116, 119	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . 10 |- ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin
121		biortn 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin -> ( ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
122	120, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
123	115, 122	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
124	123	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
125	105, 124	mtbird 315	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) e. T )
126	125	expcom 451	. . . . 5 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( y e. A -> -. ( A \ { y } ) e. T ) )
127		nelneq2 2726	. . . . . 6 |- ( ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ -. ( A \ { y } ) e. T ) -> -. ~P A = T )
128		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( T = ~P A <-> ~P A = T )
129	127, 128	sylnibr 319	. . . . 5 |- ( ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ -. ( A \ { y } ) e. T ) -> -. T = ~P A )
130	86, 126, 129	syl6an 568	. . . 4 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( y e. A -> -. T = ~P A ) )
131	79, 130	exellimddv 33193	. . 3 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> -. T = ~P A )
132	77, 131	pm2.65da 600	. 2 |- ( -. A e. Fin -> -. T e. (TopOn ` A ) )
133	132	con4i 113	1 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888   Fincfn 7955  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716

This theorem is referenced by:  topdifinffin  33196