Theorem uhgrvd00 26430

Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdusgradjvtx.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdusgradjvtx.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
uhgrvd00	|- ( G e. UHGraph -> ( A. v e. V ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = 0 -> E = (/) ) )

Distinct variable groups:   v, E   v, G   v, V

Proof of Theorem uhgrvd00

Dummy variable e is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdusgradjvtx.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
2		vtxdusgradjvtx.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
4	1, 2, 3	vtxduhgr0edgnel 26390	. . . 4 |- ( ( G e. UHGraph /\ v e. V ) -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = 0 <-> -. E. e e. E v e. e ) )
5		ralnex 2992	. . . 4 |- ( A. e e. E -. v e. e <-> -. E. e e. E v e. e )
6	4, 5	syl6bbr 278	. . 3 |- ( ( G e. UHGraph /\ v e. V ) -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = 0 <-> A. e e. E -. v e. e ) )
7	6	ralbidva 2985	. 2 |- ( G e. UHGraph -> ( A. v e. V ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = 0 <-> A. v e. V A. e e. E -. v e. e ) )
8		ralcom 3098	. . . . 5 |- ( A. v e. V A. e e. E -. v e. e <-> A. e e. E A. v e. V -. v e. e )
9		ralnex2 3045	. . . . 5 |- ( A. e e. E A. v e. V -. v e. e <-> -. E. e e. E E. v e. V v e. e )
10	8, 9	bitri 264	. . . 4 |- ( A. v e. V A. e e. E -. v e. e <-> -. E. e e. E E. v e. V v e. e )
11		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. UHGraph /\ e e. E ) -> e e. E )
12	2	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. E <-> e e. (Edg ` G ) )
13		uhgredgn0 26023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. UHGraph /\ e e. (Edg ` G ) ) -> e e. ( ~P (Vtx ` G ) \ { (/) } ) )
14	12, 13	sylan2b 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. UHGraph /\ e e. E ) -> e e. ( ~P (Vtx ` G ) \ { (/) } ) )
15		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. ( ~P (Vtx ` G ) \ { (/) } ) <-> ( e e. ~P (Vtx ` G ) /\ e =/= (/) ) )
16		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. ~P (Vtx ` G ) -> e C_ (Vtx ` G ) )
17	1	sseq2i 3630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e C_ V <-> e C_ (Vtx ` G ) )
18		ssn0rex 3936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( e C_ V /\ e =/= (/) ) -> E. v e. V v e. e )
19	18	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e C_ V -> ( e =/= (/) -> E. v e. V v e. e ) )
20	17, 19	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e C_ (Vtx ` G ) -> ( e =/= (/) -> E. v e. V v e. e ) )
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ~P (Vtx ` G ) -> ( e =/= (/) -> E. v e. V v e. e ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( e e. ~P (Vtx ` G ) /\ e =/= (/) ) -> E. v e. V v e. e )
23	15, 22	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( ~P (Vtx ` G ) \ { (/) } ) -> E. v e. V v e. e )
24	14, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. UHGraph /\ e e. E ) -> E. v e. V v e. e )
25	11, 24	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. UHGraph /\ e e. E ) -> ( e e. E /\ E. v e. V v e. e ) )
26	25	ex 450	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> ( e e. E -> ( e e. E /\ E. v e. V v e. e ) ) )
27	26	eximdv 1846	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( E. e e e. E -> E. e ( e e. E /\ E. v e. V v e. e ) ) )
28		n0 3931	. . . . . 6 |- ( E =/= (/) <-> E. e e e. E )
29		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. e e. E E. v e. V v e. e <-> E. e ( e e. E /\ E. v e. V v e. e ) )
30	27, 28, 29	3imtr4g 285	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( E =/= (/) -> E. e e. E E. v e. V v e. e ) )
31	30	con3d 148	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( -. E. e e. E E. v e. V v e. e -> -. E =/= (/) ) )
32	10, 31	syl5bi 232	. . 3 |- ( G e. UHGraph -> ( A. v e. V A. e e. E -. v e. e -> -. E =/= (/) ) )
33		nne 2798	. . 3 |- ( -. E =/= (/) <-> E = (/) )
34	32, 33	syl6ib 241	. 2 |- ( G e. UHGraph -> ( A. v e. V A. e e. E -. v e. e -> E = (/) ) )
35	7, 34	sylbid 230	1 |- ( G e. UHGraph -> ( A. v e. V ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = 0 -> E = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888   0cc0 9936  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   UHGraph cuhgr 25951  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  usgrvd00  26431  uhgr0edg0rgrb  26470