Theorem umgrres1lem 26202

Description: Lemma for umgrres1 26206. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres1.v	|- V = (Vtx ` G )
upgrres1.e	|- E = (Edg ` G )
upgrres1.f	|- F = { e e. E | N e/ e }

Assertion

Ref	Expression
umgrres1lem	|- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ran ( _I |` F ) C_ { p e. ~P ( V \ { N } ) | ( # ` p ) = 2 } )

Distinct variable groups:   e, E   e, G   e, N   e, V   F, p   G, p   N, p   V, p, e

Allowed substitution hints:   E( p)   F( e)

Proof of Theorem umgrres1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 5479	. 2 |- ran ( _I |` F ) = F
2		upgrres1.f	. . . 4 |- F = { e e. E | N e/ e }
3		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ e e. E ) -> e e. E )
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ e e. E ) /\ N e/ e ) -> e e. E )
5		umgruhgr 25999	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
6		upgrres1.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = (Edg ` G )
7	6	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. E <-> e e. (Edg ` G ) )
8	7	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. E -> e e. (Edg ` G ) )
9		edguhgr 26024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. UHGraph /\ e e. (Edg ` G ) ) -> e e. ~P (Vtx ` G ) )
10		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ~P (Vtx ` G ) -> e C_ (Vtx ` G ) )
11		upgrres1.v	. . . . . . . . . . . 12 |- V = (Vtx ` G )
12	10, 11	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. ~P (Vtx ` G ) -> e C_ V )
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. UHGraph /\ e e. (Edg ` G ) ) -> e C_ V )
14	5, 8, 13	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. UMGraph /\ e e. E ) -> e C_ V )
15	14	ad4ant13 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ e e. E ) /\ N e/ e ) -> e C_ V )
16		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ e e. E ) /\ N e/ e ) -> N e/ e )
17		elpwdifsn 4319	. . . . . . . 8 |- ( ( e e. E /\ e C_ V /\ N e/ e ) -> e e. ~P ( V \ { N } ) )
18	4, 15, 16, 17	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ e e. E ) /\ N e/ e ) -> e e. ~P ( V \ { N } ) )
19	18	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ e e. E ) -> ( N e/ e -> e e. ~P ( V \ { N } ) ) )
20	19	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> A. e e. E ( N e/ e -> e e. ~P ( V \ { N } ) ) )
21		rabss 3679	. . . . 5 |- ( { e e. E | N e/ e } C_ ~P ( V \ { N } ) <-> A. e e. E ( N e/ e -> e e. ~P ( V \ { N } ) ) )
22	20, 21	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> { e e. E | N e/ e } C_ ~P ( V \ { N } ) )
23	2, 22	syl5eqss 3649	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> F C_ ~P ( V \ { N } ) )
24		elrabi 3359	. . . . . . 7 |- ( p e. { e e. E | N e/ e } -> p e. E )
25	24, 6	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( p e. { e e. E | N e/ e } -> p e. (Edg ` G ) )
26		edgumgr 26030	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. UMGraph /\ p e. (Edg ` G ) ) -> ( p e. ~P (Vtx ` G ) /\ ( # ` p ) = 2 ) )
27	26	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. UMGraph /\ p e. (Edg ` G ) ) -> ( # ` p ) = 2 )
28	27	ex 450	. . . . . . 7 |- ( G e. UMGraph -> ( p e. (Edg ` G ) -> ( # ` p ) = 2 ) )
29	28	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ( p e. (Edg ` G ) -> ( # ` p ) = 2 ) )
30	25, 29	syl5com 31	. . . . 5 |- ( p e. { e e. E | N e/ e } -> ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ( # ` p ) = 2 ) )
31	30, 2	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( p e. F -> ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ( # ` p ) = 2 ) )
32	31	impcom 446	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ p e. F ) -> ( # ` p ) = 2 )
33	23, 32	ssrabdv 3681	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> F C_ { p e. ~P ( V \ { N } ) | ( # ` p ) = 2 } )
34	1, 33	syl5eqss 3649	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ran ( _I |` F ) C_ { p e. ~P ( V \ { N } ) | ( # ` p ) = 2 } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   _I cid 5023   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888   2c2 11070   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   UHGraph cuhgr 25951   UMGraph cumgr 25976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-umgr 25978

This theorem is referenced by:  umgrres1  26206  usgrres1  26207