Theorem uzrdglem 12756

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , C ) |` om )
uzrdg.1	|- A e. _V
uzrdg.2	|- R = ( rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
uzrdglem	|- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. ran R )

Distinct variable groups:   y, A   x, y, C   y, G   x, F, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, y)   R( x, y)   G( x)

Proof of Theorem uzrdglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . . . . 6 |- C e. ZZ
2		om2uz.2	. . . . . 6 |- G = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , C ) |` om )
3	1, 2	om2uzf1oi 12752	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C )
4		f1ocnvdm 6540	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
5	3, 4	mpan 706	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> ( `' G ` B ) e. om )
6		uzrdg.1	. . . . 5 |- A e. _V
7		uzrdg.2	. . . . 5 |- R = ( rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) |` om )
8	1, 2, 6, 7	om2uzrdg 12755	. . . 4 |- ( ( `' G ` B ) e. om -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
9	5, 8	syl 17	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
10		f1ocnvfv2 6533	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
11	3, 10	mpan 706	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
12	11	opeq1d 4408	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> <. ( G ` ( `' G ` B ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
13	9, 12	eqtrd 2656	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
14		frfnom 7530	. . . 4 |- ( rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) |` om ) Fn om
15	7	fneq1i 5985	. . . 4 |- ( R Fn om <-> ( rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) |` om ) Fn om )
16	14, 15	mpbir 221	. . 3 |- R Fn om
17		fnfvelrn 6356	. . 3 |- ( ( R Fn om /\ ( `' G ` B ) e. om ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
18	16, 5, 17	sylancr 695	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
19	13, 18	eqeltrrd 2702	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. ran R )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   2ndc2nd 7167   reccrdg 7505   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  uzrdgfni  12757  uzrdgsuci  12759