Theorem uzub 39658

Description: A set of reals, indexed by upper integers, is bound if and only if any upper part is bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzub.1	|- F/ j ph
uzub.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
uzub.3	|- Z = ( ZZ>= ` M )
uzub.12	|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
uzub	|- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. x e. RR A. j e. Z B <_ x ) )

Distinct variable groups:   B, k, x   j, M   j, Z, k, x

Allowed substitution hints:   ph( x, j, k)   B( j)   M( x, k)

Proof of Theorem uzub

Dummy variables i w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` i ) )
2	1	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( k = i -> ( A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ x ) )
3	2	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ x )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( x = w -> ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ x ) )
5		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( B <_ x <-> B <_ w ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( x = w -> ( E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ x <-> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) )
8	4, 7	bitrd 268	. . . 4 |- ( x = w -> ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) )
9	8	cbvrexv 3172	. . 3 |- ( E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w )
10	9	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) )
11		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( B <_ w <-> B <_ y ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w <-> A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) )
13	12	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w <-> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) )
14	13	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w <-> E. y e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y )
15	14	biimpi 206	. . . . 5 |- ( E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w -> E. y e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y )
16		uzub.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ph
17		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j y e. RR
18	16, 17	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( ph /\ y e. RR )
19		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j i e. Z
20	18, 19	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z )
21		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y
22	20, 21	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y )
23		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ j ( j e. ( M ... i ) |-> B )
24	23	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j ran ( j e. ( M ... i ) |-> B )
25		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j RR
26		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j <
27	24, 25, 26	nfsup 8357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < )
28		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j <_
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j y
30	27, 28, 29	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) <_ y
31	30, 29, 27	nfif 4115	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j if ( sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) <_ y , y , sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) )
32		uzub.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
33	32	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> M e. ZZ )
34		uzub.3	. . . . . . . . . . . 12 |- Z = ( ZZ>= ` M )
35		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> y e. RR )
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) = sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) <_ y , y , sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) ) = if ( sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) <_ y , y , sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) )
38		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> i e. Z )
39		uzub.12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> B e. RR )
40	39	ad5ant15 1303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) /\ j e. Z ) -> B e. RR )
41		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y )
42	22, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41	uzublem 39657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w )
43	42	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) )
44	43	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) )
45	44	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w )
46	45	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) )
47	46	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. y e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) )
48	47	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. y e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w )
49	15, 48	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w )
50	49	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) )
51	32, 34	uzidd2 39643	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. Z )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. j e. Z B <_ w ) -> M e. Z )
53	34	raleqi 3142	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. Z B <_ w <-> A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w )
54	53	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( A. j e. Z B <_ w -> A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w )
55	54	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. j e. Z B <_ w ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w )
56		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ i A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w
57		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( i = M -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` M ) )
58	57	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( i = M -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w <-> A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w ) )
59	56, 58	rspce 3304	. . . . . 6 |- ( ( M e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w ) -> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w )
60	52, 55, 59	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. j e. Z B <_ w ) -> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w )
61	60	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( A. j e. Z B <_ w -> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) )
62	61	reximdva 3017	. . 3 |- ( ph -> ( E. w e. RR A. j e. Z B <_ w -> E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) )
63	50, 62	impbid 202	. 2 |- ( ph -> ( E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w <-> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) )
64		breq2 4657	. . . . 5 |- ( w = x -> ( B <_ w <-> B <_ x ) )
65	64	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( w = x -> ( A. j e. Z B <_ w <-> A. j e. Z B <_ x ) )
66	65	cbvrexv 3172	. . 3 |- ( E. w e. RR A. j e. Z B <_ w <-> E. x e. RR A. j e. Z B <_ x )
67	66	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( E. w e. RR A. j e. Z B <_ w <-> E. x e. RR A. j e. Z B <_ x ) )
68	10, 63, 67	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. x e. RR A. j e. Z B <_ x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  limsupreuz  39969