Theorem uzublem 39657

Description: A set of reals, indexed by upper integers, is bound if and only if any upper part is bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzublem.1	|- F/ j ph
uzublem.2	|- F/_ j X
uzublem.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
uzublem.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
uzublem.5	|- ( ph -> Y e. RR )
uzublem.6	|- W = sup ( ran ( j e. ( M ... K ) |-> B ) , RR , < )
uzublem.7	|- X = if ( W <_ Y , Y , W )
uzublem.8	|- ( ph -> K e. Z )
uzublem.9	|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> B e. RR )
uzublem.10	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` K ) B <_ Y )

Assertion

Ref	Expression
uzublem	|- ( ph -> E. x e. RR A. j e. Z B <_ x )

Distinct variable groups:   x, B   j, K   j, M   x, X   x, Z   x, j

Allowed substitution hints:   ph( x, j)   B( j)   K( x)   M( x)   W( x, j)   X( j)   Y( x, j)   Z( j)

Proof of Theorem uzublem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzublem.7	. . 3 |- X = if ( W <_ Y , Y , W )
2		uzublem.5	. . . 4 |- ( ph -> Y e. RR )
3		uzublem.6	. . . . . 6 |- W = sup ( ran ( j e. ( M ... K ) |-> B ) , RR , < )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> W = sup ( ran ( j e. ( M ... K ) |-> B ) , RR , < ) )
5		uzublem.1	. . . . . 6 |- F/ j ph
6		ltso 10118	. . . . . . 7 |- < Or RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> < Or RR )
8		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... K ) e. Fin )
9		uzublem.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
10		uzublem.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Z )
11		uzublem.4	. . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
12	11	eluzelz2 39627	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Z -> K e. ZZ )
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
14	9	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
15	14	leidd 10594	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M <_ M )
16	10, 11	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
17		eluzle 11700	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M <_ K )
19	9, 13, 9, 15, 18	elfzd 39636	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... K ) )
20	19	ne0d 39308	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... K ) =/= (/) )
21		fzssuz 12382	. . . . . . . . 9 |- ( M ... K ) C_ ( ZZ>= ` M )
22	11	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) = Z
23	21, 22	sseqtri 3637	. . . . . . . 8 |- ( M ... K ) C_ Z
24		id 22	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( M ... K ) -> j e. ( M ... K ) )
25	23, 24	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M ... K ) -> j e. Z )
26		uzublem.9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> B e. RR )
27	25, 26	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... K ) ) -> B e. RR )
28	5, 7, 8, 20, 27	fisupclrnmpt 39622	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( j e. ( M ... K ) |-> B ) , RR , < ) e. RR )
29	4, 28	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> W e. RR )
30	2, 29	ifcld 4131	. . 3 |- ( ph -> if ( W <_ Y , Y , W ) e. RR )
31	1, 30	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> X e. RR )
32	26	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> B e. RR )
33	2	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> Y e. RR )
34	31	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> X e. RR )
35		uzublem.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` K ) B <_ Y )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> A. j e. ( ZZ>= ` K ) B <_ Y )
37		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` K ) = ( ZZ>= ` K )
38	13	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> K e. ZZ )
39	11	eluzelz2 39627	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
40	39	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> j e. ZZ )
41		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> K <_ j )
42	37, 38, 40, 41	eluzd 39635	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> j e. ( ZZ>= ` K ) )
43		rspa 2930	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. ( ZZ>= ` K ) B <_ Y /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> B <_ Y )
44	36, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> B <_ Y )
45		max2 12018	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. RR /\ Y e. RR ) -> Y <_ if ( W <_ Y , Y , W ) )
46	29, 2, 45	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y <_ if ( W <_ Y , Y , W ) )
47	46, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y <_ X )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> Y <_ X )
49	32, 33, 34, 44, 48	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> B <_ X )
50		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. K <_ j ) -> -. K <_ j )
51		uzssre 39620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
52	11, 51	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- Z C_ RR
53	52	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Z -> j e. RR )
54	53	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. K <_ j ) -> j e. RR )
55	52, 10	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. RR )
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. K <_ j ) -> K e. RR )
57	54, 56	ltnled 10184	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. K <_ j ) -> ( j < K <-> -. K <_ j ) )
58	50, 57	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. K <_ j ) -> j < K )
59	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> B e. RR )
60	3, 29	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sup ( ran ( j e. ( M ... K ) |-> B ) , RR , < ) e. RR )
61	3, 60	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. RR )
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> W e. RR )
63	2, 61	ifcld 4131	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( W <_ Y , Y , W ) e. RR )
64	1, 63	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR )
65	64	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> X e. RR )
66		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> ph )
67	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> M e. ZZ )
68	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> K e. ZZ )
69	11	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. Z <-> j e. ( ZZ>= ` M ) )
70	69	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
71	70	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
72		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> j < K )
73	71, 68, 72	elfzod 39624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> j e. ( M..^ K ) )
74		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( M..^ K ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
75	74, 22	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M..^ K ) -> j e. Z )
76	73, 75, 39	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> j e. ZZ )
77		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ j )
78	70, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. Z -> M <_ j )
79	78	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> M <_ j )
80	73, 75, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> j e. RR )
81	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> K e. RR )
82	80, 81, 72	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> j <_ K )
83	67, 68, 76, 79, 82	elfzd 39636	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> j e. ( M ... K ) )
84	5, 27	ralrimia 39315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. j e. ( M ... K ) B e. RR )
85		fimaxre3 10970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... K ) e. Fin /\ A. j e. ( M ... K ) B e. RR ) -> E. y e. RR A. j e. ( M ... K ) B <_ y )
86	8, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. y e. RR A. j e. ( M ... K ) B <_ y )
87	5, 27, 86	suprubrnmpt 39468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... K ) ) -> B <_ sup ( ran ( j e. ( M ... K ) |-> B ) , RR , < ) )
88	66, 83, 87	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> B <_ sup ( ran ( j e. ( M ... K ) |-> B ) , RR , < ) )
89	88, 3	syl6breqr 4695	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> B <_ W )
90		max1 12016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. RR /\ Y e. RR ) -> W <_ if ( W <_ Y , Y , W ) )
91	29, 2, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W <_ if ( W <_ Y , Y , W ) )
92	91, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W <_ X )
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> W <_ X )
94	59, 62, 65, 89, 93	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j < K ) -> B <_ X )
95	58, 94	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. K <_ j ) -> B <_ X )
96	49, 95	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> B <_ X )
97	96	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( j e. Z -> B <_ X ) )
98	5, 97	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. j e. Z B <_ X )
99		nfv 1843	. . 3 |- F/ x A. j e. Z B <_ X
100		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j x
101		uzublem.2	. . . . 5 |- F/_ j X
102	100, 101	nfeq 2776	. . . 4 |- F/ j x = X
103		breq2 4657	. . . 4 |- ( x = X -> ( B <_ x <-> B <_ X ) )
104	102, 103	ralbid 2983	. . 3 |- ( x = X -> ( A. j e. Z B <_ x <-> A. j e. Z B <_ X ) )
105	99, 104	rspce 3304	. 2 |- ( ( X e. RR /\ A. j e. Z B <_ X ) -> E. x e. RR A. j e. Z B <_ x )
106	31, 98, 105	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. x e. RR A. j e. Z B <_ x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  uzub  39658