Theorem iundjiun 40677

Description: Given a sequence E of sets, a sequence F of disjoint sets is built, such that the indexed union stays the same. As in the proof of Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundjiun.nph	|- F/ n ph
iundjiun.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )
iundjiun.e	|- ( ph -> E : Z --> V )
iundjiun.f	|- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iundjiun	|- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )

Distinct variable groups:   i, E, m, n   m, F   i, N, m, n   m, Z, n   ph, i, m

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( i, n)   V( i, m, n)   Z( i)

Proof of Theorem iundjiun

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) <-> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
2	1	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
3	2	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
4		iundjiun.nph	. . . . . . . . 9 |- F/ n ph
5		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n x
6		nfiu1 4550	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n )
7	5, 6	nfel 2777	. . . . . . . . 9 |- F/ n x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n )
8		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> n e. ( N ... m ) )
9		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ph )
10		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
11		iundjiun.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Z = ( ZZ>= ` N )
12	11	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` N ) = Z
13	10, 12	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. Z )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> n e. Z )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
16		iundjiun.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> E : Z --> V )
17	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) e. V )
18		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E ` n ) e. V -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V )
20		iundjiun.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
21	20	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. Z /\ ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
22	15, 19, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
23		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) C_ ( E ` n ) )
24	22, 23	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
25	9, 14, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
26	25	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
27		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( F ` n ) )
28	26, 27	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( E ` n ) )
29		rspe 3003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ x e. ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
30	8, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
31		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) <-> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
32	30, 31	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
33	32	3exp 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. ( N ... m ) -> ( x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) ) )
34	4, 7, 33	rexlimd 3026	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> ( E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) )
36	3, 35	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
37	36	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
38		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) <-> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
39	37, 38	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
40		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . 11 |- ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
42	31	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
43		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n x e. ( E ` i )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( E ` n ) = ( E ` i ) )
45	44	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = i -> ( x e. ( E ` n ) <-> x e. ( E ` i ) ) )
46	43, 45	uzwo4 39221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N ) /\ E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
47	41, 42, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
48	47	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
49		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( E ` n ) )
50		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ i ( ph /\ n e. ( N ... m ) )
51		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ i A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) )
52	50, 51	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ i ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
53		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i e. ZZ )
54	53	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i e. RR )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. RR )
56		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. ZZ )
57	56	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. RR )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> n e. RR )
59		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> 1 e. RR )
60	58, 59	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) e. RR )
61		elfzolem1 39537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i <_ ( n - 1 ) )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i <_ ( n - 1 ) )
63	58	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) < n )
64	55, 60, 58, 62, 63	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < n )
65	64	ad4ant24 1298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < n )
66		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
67		elfzel1 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ( N ... m ) -> N e. ZZ )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> N e. ZZ )
69		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ( N ... m ) -> m e. ZZ )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> m e. ZZ )
71	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ZZ )
72	68, 70, 71	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
73		elfzole1 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( N..^ n ) -> N <_ i )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> N <_ i )
75	70	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> m e. RR )
76		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n e. ( N ... m ) -> 1 e. RR )
77	57, 76	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) e. RR )
78	69	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> m e. RR )
79	57	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) < n )
80		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> n <_ m )
81	77, 57, 78, 79, 80	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) < m )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) < m )
83	55, 60, 75, 62, 82	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < m )
84	55, 75, 83	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i <_ m )
85	72, 74, 84	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( N <_ i /\ i <_ m ) ) )
86		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( N ... m ) <-> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( N <_ i /\ i <_ m ) ) )
87	85, 86	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ( N ... m ) )
88	87	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ( N ... m ) )
89		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) /\ i e. ( N ... m ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
90	66, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
91	90	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
92	65, 91	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> -. x e. ( E ` i ) )
93	92	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> ( i e. ( N..^ n ) -> -. x e. ( E ` i ) ) )
94	52, 93	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> A. i e. ( N..^ n ) -. x e. ( E ` i ) )
95		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. i e. ( N..^ n ) -. x e. ( E ` i ) <-> -. E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
96	94, 95	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> -. E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
97		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) <-> E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
98	96, 97	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> -. x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) )
99	98	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> -. x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) )
100	49, 99	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
101	14, 22	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
102	101	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( F ` n ) )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( F ` n ) )
104	100, 103	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( F ` n ) )
105	104	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> x e. ( F ` n ) ) )
106	105	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( n e. ( N ... m ) -> ( ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> x e. ( F ` n ) ) ) )
107	4, 106	reximdai 3012	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) ) )
108	107	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> ( E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) ) )
109	48, 108	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
110	109, 1	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
111	110	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
112		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) <-> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
113	111, 112	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
114	39, 113	eqssd 3620	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
115	114	ralrimivw 2967	. 2 |- ( ph -> A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
116	11	iuneqfzuz 39551	. . 3 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
117	115, 116	syl 17	. 2 |- ( ph -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
118		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
119		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( N..^ n ) = ( N..^ m ) )
120	119	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) = U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) )
121	118, 120	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
122	121	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) ) = ( m e. Z |-> ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
123	20, 122	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( m e. Z |-> ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
124		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> n e. Z )
125		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> k e. Z )
126		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> n < k )
127	11, 123, 124, 125, 126	iundjiunlem 40676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
128	127	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
129		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) )
130		neqne 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. n = k -> n =/= k )
131		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Z -> k e. Z )
132	131, 11	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
133		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ZZ )
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
135	134	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. Z -> k e. RR )
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Z /\ k e. Z ) -> k e. RR )
137	136	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k e. RR )
138		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> n e. Z )
139	138, 11	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
140		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> n e. ZZ )
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
142	141	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> n e. RR )
143	142	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> n e. RR )
144		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> -. n < k )
145	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> k e. RR )
146	142	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> n e. RR )
147	145, 146	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> ( k <_ n <-> -. n < k ) )
148	144, 147	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> k <_ n )
149	148	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k <_ n )
150		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> n =/= k )
151	137, 143, 149, 150	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
152	130, 151	sylanl2 683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
153	152	ad5ant2345 1317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
154		anass 681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) )
155		incom 3805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) )
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) ) )
157		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> k e. Z )
158		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> n e. Z )
159		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> k < n )
160	11, 123, 157, 158, 159	iundjiunlem 40676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
161	156, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
162	154, 161	sylanb 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
163	129, 153, 162	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
164	128, 163	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
165	164	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( -. n = k -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
166		df-or 385	. . . . . . 7 |- ( ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> ( -. n = k -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
167	165, 166	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
168	167	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
169	168	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. Z -> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
170	4, 169	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ph -> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
171		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ m ( F ` n )
172		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ n ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
173	20, 172	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ n F
174		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ n m
175	173, 174	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ n ( F ` m )
176		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
177	171, 175, 176	cbvdisj 4630	. . . 4 |- (Disj n e. Z ( F ` n ) <-> Disj m e. Z ( F ` m ) )
178		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
179	178	disjor 4634	. . . 4 |- (Disj m e. Z ( F ` m ) <-> A. m e. Z A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
180		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ n Z
181		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ n m = k
182		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n k
183	173, 182	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( F ` k )
184	175, 183	nfin 3820	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) )
185		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ n (/)
186	184, 185	nfeq 2776	. . . . . . 7 |- F/ n ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/)
187	181, 186	nfor 1834	. . . . . 6 |- F/ n ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
188	180, 187	nfral 2945	. . . . 5 |- F/ n A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
189		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ m A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
190		equequ1 1952	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( m = k <-> n = k ) )
191		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
192	191	ineq1d 3813	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) )
193	192	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) <-> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
194	190, 193	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
195	194	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( m = n -> ( A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
196	188, 189, 195	cbvral 3167	. . . 4 |- ( A. m e. Z A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
197	177, 179, 196	3bitri 286	. . 3 |- (Disj n e. Z ( F ` n ) <-> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
198	170, 197	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> Disj n e. Z ( F ` n ) )
199	115, 117, 198	jca31 557	1 |- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  40685  meaiuninclem  40697  carageniuncllem2  40736