Theorem vdwlem2 15686

Description: Lemma for vdw 15698. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem2.r	|- ( ph -> R e. Fin )
vdwlem2.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
vdwlem2.w	|- ( ph -> W e. NN )
vdwlem2.n	|- ( ph -> N e. NN )
vdwlem2.f	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> R )
vdwlem2.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` ( W + N ) ) )
vdwlem2.g	|- G = ( x e. ( 1 ... W ) |-> ( F ` ( x + N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
vdwlem2	|- ( ph -> ( K MonoAP G -> K MonoAP F ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, K   x, M   ph, x   x, G   x, N   x, R   x, W

Proof of Theorem vdwlem2

Dummy variables a b c d m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 |- ( a e. NN -> a e. NN )
2		vdwlem2.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
3		nnaddcl 11042	. . . . . 6 |- ( ( a e. NN /\ N e. NN ) -> ( a + N ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anr 495	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( a + N ) e. NN )
5		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> a e. NN )
6	5	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> a e. CC )
7	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. NN )
8	7	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. CC )
9		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> m e. NN0 )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. NN0 )
11	10	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. CC )
12		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> d e. NN )
13	12	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> d e. CC )
14	11, 13	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m x. d ) e. CC )
15	6, 8, 14	add32d 10263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) = ( ( a + ( m x. d ) ) + N ) )
16		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( m x. d ) )
18		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = m -> ( n x. d ) = ( m x. d ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = m -> ( a + ( n x. d ) ) = ( a + ( m x. d ) ) )
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = m -> ( ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( n x. d ) ) <-> ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( m x. d ) ) ) )
21	20	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) /\ ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( m x. d ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( n x. d ) ) )
22	17, 21	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( n x. d ) ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( n x. d ) ) )
24		vdwlem2.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> K e. NN0 )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) -> K e. NN0 )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. NN0 )
27		vdwapval 15677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. NN0 /\ a e. NN /\ d e. NN ) -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( a (AP ` K ) d ) <-> E. n e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( n x. d ) ) ) )
28	26, 5, 12, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( a (AP ` K ) d ) <-> E. n e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( n x. d ) ) ) )
29	23, 28	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( a + ( m x. d ) ) e. ( a (AP ` K ) d ) )
30	16, 29	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' G " { c } ) )
31		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. ( 1 ... W ) -> x e. NN )
32		nnaddcl 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. NN /\ N e. NN ) -> ( x + N ) e. NN )
33	31, 2, 32	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... W ) ) -> ( x + N ) e. NN )
34		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
35	33, 34	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... W ) ) -> ( x + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
36		vdwlem2.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` ( W + N ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... W ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( W + N ) ) )
38		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. ( 1 ... W ) -> W e. ( ZZ>= ` x ) )
39	2	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> N e. ZZ )
40		eluzadd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( W e. ( ZZ>= ` x ) /\ N e. ZZ ) -> ( W + N ) e. ( ZZ>= ` ( x + N ) ) )
41	38, 39, 40	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... W ) ) -> ( W + N ) e. ( ZZ>= ` ( x + N ) ) )
42		uztrn 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` ( W + N ) ) /\ ( W + N ) e. ( ZZ>= ` ( x + N ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( x + N ) ) )
43	37, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... W ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( x + N ) ) )
44		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x + N ) e. ( 1 ... M ) <-> ( ( x + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ( ZZ>= ` ( x + N ) ) ) )
45	35, 43, 44	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... W ) ) -> ( x + N ) e. ( 1 ... M ) )
46		vdwlem2.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> R )
47	46	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x + N ) e. ( 1 ... M ) ) -> ( F ` ( x + N ) ) e. R )
48	45, 47	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... W ) ) -> ( F ` ( x + N ) ) e. R )
49		vdwlem2.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- G = ( x e. ( 1 ... W ) |-> ( F ` ( x + N ) ) )
50	48, 49	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> G : ( 1 ... W ) --> R )
51		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( G : ( 1 ... W ) --> R -> G Fn ( 1 ... W ) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> G Fn ( 1 ... W ) )
53	52	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> G Fn ( 1 ... W ) )
54		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G Fn ( 1 ... W ) -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' G " { c } ) <-> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( 1 ... W ) /\ ( G ` ( a + ( m x. d ) ) ) = c ) ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' G " { c } ) <-> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( 1 ... W ) /\ ( G ` ( a + ( m x. d ) ) ) = c ) ) )
56	30, 55	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( 1 ... W ) /\ ( G ` ( a + ( m x. d ) ) ) = c ) )
57	56	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( a + ( m x. d ) ) e. ( 1 ... W ) )
58	45	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... W ) ( x + N ) e. ( 1 ... M ) )
59	58	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> A. x e. ( 1 ... W ) ( x + N ) e. ( 1 ... M ) )
60		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( a + ( m x. d ) ) -> ( x + N ) = ( ( a + ( m x. d ) ) + N ) )
61	60	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( a + ( m x. d ) ) -> ( ( x + N ) e. ( 1 ... M ) <-> ( ( a + ( m x. d ) ) + N ) e. ( 1 ... M ) ) )
62	61	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( 1 ... W ) -> ( A. x e. ( 1 ... W ) ( x + N ) e. ( 1 ... M ) -> ( ( a + ( m x. d ) ) + N ) e. ( 1 ... M ) ) )
63	57, 59, 62	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( a + ( m x. d ) ) + N ) e. ( 1 ... M ) )
64	15, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) e. ( 1 ... M ) )
65	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) ) = ( F ` ( ( a + ( m x. d ) ) + N ) ) )
66	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( a + ( m x. d ) ) -> ( F ` ( x + N ) ) = ( F ` ( ( a + ( m x. d ) ) + N ) ) )
67		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` ( ( a + ( m x. d ) ) + N ) ) e. _V
68	66, 49, 67	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( 1 ... W ) -> ( G ` ( a + ( m x. d ) ) ) = ( F ` ( ( a + ( m x. d ) ) + N ) ) )
69	57, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( a + ( m x. d ) ) ) = ( F ` ( ( a + ( m x. d ) ) + N ) ) )
70	56	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( a + ( m x. d ) ) ) = c )
71	65, 69, 70	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) ) = c )
72	64, 71	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) ) = c ) )
73		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) -> ( x e. ( 1 ... M ) <-> ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) e. ( 1 ... M ) ) )
74		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) ) )
75	74	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) -> ( ( F ` x ) = c <-> ( F ` ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) ) = c ) )
76	73, 75	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` x ) = c ) <-> ( ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) ) = c ) ) )
77	72, 76	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( x = ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) -> ( x e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` x ) = c ) ) )
78	77	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) -> ( E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) -> ( x e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` x ) = c ) ) )
79	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) -> ( a + N ) e. NN )
80		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) -> d e. NN )
81		vdwapval 15677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ ( a + N ) e. NN /\ d e. NN ) -> ( x e. ( ( a + N ) (AP ` K ) d ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) ) )
82	25, 79, 80, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) -> ( x e. ( ( a + N ) (AP ` K ) d ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( a + N ) + ( m x. d ) ) ) )
83		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : ( 1 ... M ) --> R -> F Fn ( 1 ... M ) )
84	46, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F Fn ( 1 ... M ) )
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) -> F Fn ( 1 ... M ) )
86		fniniseg 6338	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn ( 1 ... M ) -> ( x e. ( `' F " { c } ) <-> ( x e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` x ) = c ) ) )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) -> ( x e. ( `' F " { c } ) <-> ( x e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` x ) = c ) ) )
88	78, 82, 87	3imtr4d 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) -> ( x e. ( ( a + N ) (AP ` K ) d ) -> x e. ( `' F " { c } ) ) )
89	88	ssrdv 3609	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ ( d e. NN /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) -> ( ( a + N ) (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) )
90	89	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. NN ) /\ d e. NN ) -> ( ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) -> ( ( a + N ) (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) ) )
91	90	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) -> E. d e. NN ( ( a + N ) (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) ) )
92		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( b = ( a + N ) -> ( b (AP ` K ) d ) = ( ( a + N ) (AP ` K ) d ) )
93	92	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( b = ( a + N ) -> ( ( b (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) <-> ( ( a + N ) (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) ) )
94	93	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( b = ( a + N ) -> ( E. d e. NN ( b (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) <-> E. d e. NN ( ( a + N ) (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) ) )
95	94	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( a + N ) e. NN /\ E. d e. NN ( ( a + N ) (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) ) -> E. b e. NN E. d e. NN ( b (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) )
96	4, 91, 95	syl6an 568	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) -> E. b e. NN E. d e. NN ( b (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) ) )
97	96	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ph -> ( E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) -> E. b e. NN E. d e. NN ( b (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) ) )
98	97	eximdv 1846	. 2 |- ( ph -> ( E. c E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) -> E. c E. b e. NN E. d e. NN ( b (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) ) )
99		ovex 6678	. . 3 |- ( 1 ... W ) e. _V
100	99, 24, 50	vdwmc 15682	. 2 |- ( ph -> ( K MonoAP G <-> E. c E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' G " { c } ) ) )
101		ovex 6678	. . 3 |- ( 1 ... M ) e. _V
102	101, 24, 46	vdwmc 15682	. 2 |- ( ph -> ( K MonoAP F <-> E. c E. b e. NN E. d e. NN ( b (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { c } ) ) )
103	98, 100, 102	3imtr4d 283	1 |- ( ph -> ( K MonoAP G -> K MonoAP F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  APcvdwa 15669   MonoAP cvdwm 15670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-vdwap 15672  df-vdwmc 15673

This theorem is referenced by:  vdwlem9  15693