Theorem vtxd0nedgb 26384

Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxd0nedgb.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxd0nedgb.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxd0nedgb.d	|- D = (VtxDeg ` G )

Assertion

Ref	Expression
vtxd0nedgb	|- ( U e. V -> ( ( D ` U ) = 0 <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, G   i, I   U, i   i, V

Allowed substitution hint:   D( i)

Proof of Theorem vtxd0nedgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxd0nedgb.d	. . . . 5 |- D = (VtxDeg ` G )
2	1	fveq1i 6192	. . . 4 |- ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U )
3		vtxd0nedgb.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxd0nedgb.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- dom I = dom I
6	3, 4, 5	vtxdgval 26364	. . . 4 |- ( U e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) +e ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) )
7	2, 6	syl5eq 2668	. . 3 |- ( U e. V -> ( D ` U ) = ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) +e ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) )
8	7	eqeq1d 2624	. 2 |- ( U e. V -> ( ( D ` U ) = 0 <-> ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) +e ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 ) )
9		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (iEdg ` G ) e. _V
10	4, 9	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- I e. _V
11	10	dmex 7099	. . . . . 6 |- dom I e. _V
12	11	rabex 4813	. . . . 5 |- { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. _V
13		hashxnn0 13127	. . . . 5 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. _V -> ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. NN0* )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. NN0*
15	11	rabex 4813	. . . . 5 |- { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. _V
16		hashxnn0 13127	. . . . 5 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. _V -> ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. NN0* )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. NN0*
18	14, 17	pm3.2i 471	. . 3 |- ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. NN0* /\ ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. NN0* )
19		xnn0xadd0 12077	. . 3 |- ( ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) e. NN0* /\ ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) e. NN0* ) -> ( ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) +e ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 <-> ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) ) )
20	18, 19	mp1i 13	. 2 |- ( U e. V -> ( ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) +e ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) ) = 0 <-> ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) ) )
21		hasheq0 13154	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } e. _V -> ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 <-> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) ) )
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 <-> { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) )
23		hasheq0 13154	. . . . . 6 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } e. _V -> ( ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 <-> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) )
24	15, 23	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 <-> { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) )
25	22, 24	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) )
26		rabeq0 3957	. . . . 5 |- ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) <-> A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) )
27		rabeq0 3957	. . . . 5 |- ( { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) <-> A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } )
28	26, 27	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } = (/) /\ { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } = (/) ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) )
29		ralnex 2992	. . . . . . 7 |- ( A. i e. dom I -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) )
30	29	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> A. i e. dom I -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) )
31		ioran 511	. . . . . . 7 |- ( -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) )
32	31	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I -. ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> A. i e. dom I ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) )
33		r19.26 3064	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom I ( -. U e. ( I ` i ) /\ -. ( I ` i ) = { U } ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) )
34	30, 32, 33	3bitri 286	. . . . 5 |- ( -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) )
35	34	bicomi 214	. . . 4 |- ( ( A. i e. dom I -. U e. ( I ` i ) /\ A. i e. dom I -. ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) )
36	25, 28, 35	3bitri 286	. . 3 |- ( ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) )
37		snidg 4206	. . . . . . . 8 |- ( U e. V -> U e. { U } )
38		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` i ) = { U } -> ( U e. ( I ` i ) <-> U e. { U } ) )
39	37, 38	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( U e. V -> ( ( I ` i ) = { U } -> U e. ( I ` i ) ) )
40		pm4.72 920	. . . . . . 7 |- ( ( ( I ` i ) = { U } -> U e. ( I ` i ) ) <-> ( U e. ( I ` i ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) ) )
41	39, 40	sylib 208	. . . . . 6 |- ( U e. V -> ( U e. ( I ` i ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) ) )
42		orcom 402	. . . . . 6 |- ( ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> ( ( I ` i ) = { U } \/ U e. ( I ` i ) ) )
43	41, 42	syl6rbbr 279	. . . . 5 |- ( U e. V -> ( ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> U e. ( I ` i ) ) )
44	43	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( U e. V -> ( E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
45	44	notbid 308	. . 3 |- ( U e. V -> ( -. E. i e. dom I ( U e. ( I ` i ) \/ ( I ` i ) = { U } ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
46	36, 45	syl5bb 272	. 2 |- ( U e. V -> ( ( ( # ` { i e. dom I | U e. ( I ` i ) } ) = 0 /\ ( # ` { i e. dom I | ( I ` i ) = { U } } ) = 0 ) <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
47	8, 20, 46	3bitrd 294	1 |- ( U e. V -> ( ( D ` U ) = 0 <-> -. E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936  NN0*cxnn0 11363   +ecxad 11944   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  26388  vtxduhgr0edgnel  26390  1loopgrvd0  26400  1hevtxdg0  26401