Theorem 1loopgrvd0 26400

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
1loopgrvd0.k	|- ( ph -> K e. ( V \ { N } ) )

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd0	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 )

Proof of Theorem 1loopgrvd0

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgrvd0.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( V \ { N } ) )
2	1	eldifbd 3587	. . . 4 |- ( ph -> -. K e. { N } )
3		1loopgruspgr.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
4		snex 4908	. . . . . 6 |- { N } e. _V
5		fvsng 6447	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ { N } e. _V ) -> ( { <. A , { N } >. } ` A ) = { N } )
6	3, 4, 5	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. A , { N } >. } ` A ) = { N } )
7	6	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) <-> K e. { N } ) )
8	2, 7	mtbird 315	. . 3 |- ( ph -> -. K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) )
9		1loopgruspgr.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
10	9	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { N } >. } )
11		dmsnopg 5606	. . . . . . 7 |- ( { N } e. _V -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
12	4, 11	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
13	10, 12	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
14	9	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` i ) = ( { <. A , { N } >. } ` i ) )
15	14	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) ) )
16	13, 15	rexeqbidv 3153	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( i = A -> ( { <. A , { N } >. } ` i ) = ( { <. A , { N } >. } ` A ) )
18	17	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( i = A -> ( K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
19	18	rexsng 4219	. . . . 5 |- ( A e. X -> ( E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
20	3, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
21	16, 20	bitrd 268	. . 3 |- ( ph -> ( E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
22	8, 21	mtbird 315	. 2 |- ( ph -> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) )
23	1	eldifad 3586	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
24		1loopgruspgr.v	. . . . 5 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
25	24	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. (Vtx ` G ) <-> K e. V ) )
26	23, 25	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> K e. (Vtx ` G ) )
27		eqid 2622	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
28		eqid 2622	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
29		eqid 2622	. . . 4 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
30	27, 28, 29	vtxd0nedgb 26384	. . 3 |- ( K e. (Vtx ` G ) -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 <-> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) ) )
31	26, 30	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 <-> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) ) )
32	22, 31	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   ` cfv 5888   0cc0 9936  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  1egrvtxdg0  26407  eupth2lem3lem3  27090