Theorem vtxdginducedm1 26439

Description: The degree of a vertex v in the induced subgraph S of a pseudograph G obtained by removing one vertex N plus the number of edges joining the vertex v and the vertex N is the degree of the vertex v in the pseudograph G. (Contributed by AV, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdginducedm1.e	|- E = (iEdg ` G )
vtxdginducedm1.k	|- K = ( V \ { N } )
vtxdginducedm1.i	|- I = { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) }
vtxdginducedm1.p	|- P = ( E |` I )
vtxdginducedm1.s	|- S = <. K , P >.
vtxdginducedm1.j	|- J = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) }

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1	|- A. v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) )

Distinct variable groups:   i, E   i, N   E, l   J, l   v, l

Allowed substitution hints:   P( v, i, l)   S( v, i, l)   E( v)   G( v, i, l)   I( v, i, l)   J( v, i)   K( v, i, l)   N( v, l)   V( v, i, l)

Proof of Theorem vtxdginducedm1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdginducedm1.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) }
2		vtxdginducedm1.i	. . . . . . . . . . . 12 |- I = { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) }
3	1, 2	elnelun 3964	. . . . . . . . . . 11 |- ( J u. I ) = dom E
4	3	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- dom E = ( J u. I )
5	4	rabeqi 3193	. . . . . . . . 9 |- { k e. dom E | v e. ( E ` k ) } = { k e. ( J u. I ) | v e. ( E ` k ) }
6		rabun2 3906	. . . . . . . . 9 |- { k e. ( J u. I ) | v e. ( E ` k ) } = ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } u. { k e. I | v e. ( E ` k ) } )
7	5, 6	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- { k e. dom E | v e. ( E ` k ) } = ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } u. { k e. I | v e. ( E ` k ) } )
8	7	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( # ` { k e. dom E | v e. ( E ` k ) } ) = ( # ` ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } u. { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) )
9		vtxdginducedm1.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = (iEdg ` G )
10	9	fvexi 6202	. . . . . . . . . 10 |- E e. _V
11	10	dmex 7099	. . . . . . . . 9 |- dom E e. _V
12	1, 11	rab2ex 4816	. . . . . . . 8 |- { k e. J | v e. ( E ` k ) } e. _V
13	2, 11	rab2ex 4816	. . . . . . . 8 |- { k e. I | v e. ( E ` k ) } e. _V
14		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { k e. J | v e. ( E ` k ) } C_ J
15		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { k e. I | v e. ( E ` k ) } C_ I
16		ss2in 3840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } C_ J /\ { k e. I | v e. ( E ` k ) } C_ I ) -> ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } i^i { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) C_ ( J i^i I ) )
17	14, 15, 16	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } i^i { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) C_ ( J i^i I )
18	1, 2	elneldisj 3963	. . . . . . . . . . 11 |- ( J i^i I ) = (/)
19	18	sseq2i 3630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } i^i { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) C_ ( J i^i I ) <-> ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } i^i { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) C_ (/) )
20		ss0 3974	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } i^i { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) C_ (/) -> ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } i^i { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) = (/) )
21	19, 20	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } i^i { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) C_ ( J i^i I ) -> ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } i^i { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) = (/) )
22	17, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } i^i { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) = (/)
23		hashunx 13175	. . . . . . . 8 |- ( ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } e. _V /\ { k e. I | v e. ( E ` k ) } e. _V /\ ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } i^i { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) = (/) ) -> ( # ` ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } u. { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) ) = ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) ) )
24	12, 13, 22, 23	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( # ` ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } u. { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) ) = ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) )
25	8, 24	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( # ` { k e. dom E | v e. ( E ` k ) } ) = ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) )
26	4	rabeqi 3193	. . . . . . . . 9 |- { k e. dom E | ( E ` k ) = { v } } = { k e. ( J u. I ) | ( E ` k ) = { v } }
27		rabun2 3906	. . . . . . . . 9 |- { k e. ( J u. I ) | ( E ` k ) = { v } } = ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } u. { k e. I | ( E ` k ) = { v } } )
28	26, 27	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- { k e. dom E | ( E ` k ) = { v } } = ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } u. { k e. I | ( E ` k ) = { v } } )
29	28	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( # ` { k e. dom E | ( E ` k ) = { v } } ) = ( # ` ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } u. { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) )
30	1, 11	rab2ex 4816	. . . . . . . 8 |- { k e. J | ( E ` k ) = { v } } e. _V
31	2, 11	rab2ex 4816	. . . . . . . 8 |- { k e. I | ( E ` k ) = { v } } e. _V
32		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { k e. J | ( E ` k ) = { v } } C_ J
33		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { k e. I | ( E ` k ) = { v } } C_ I
34		ss2in 3840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } C_ J /\ { k e. I | ( E ` k ) = { v } } C_ I ) -> ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } i^i { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) C_ ( J i^i I ) )
35	32, 33, 34	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } i^i { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) C_ ( J i^i I )
36	18	sseq2i 3630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } i^i { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) C_ ( J i^i I ) <-> ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } i^i { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) C_ (/) )
37		ss0 3974	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } i^i { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) C_ (/) -> ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } i^i { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) = (/) )
38	36, 37	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } i^i { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) C_ ( J i^i I ) -> ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } i^i { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) = (/) )
39	35, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } i^i { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) = (/)
40		hashunx 13175	. . . . . . . 8 |- ( ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } e. _V /\ { k e. I | ( E ` k ) = { v } } e. _V /\ ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } i^i { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) = (/) ) -> ( # ` ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } u. { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) = ( ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) )
41	30, 31, 39, 40	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( # ` ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } u. { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) = ( ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) )
42	29, 41	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( # ` { k e. dom E | ( E ` k ) = { v } } ) = ( ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) )
43	25, 42	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( ( # ` { k e. dom E | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom E | ( E ` k ) = { v } } ) ) = ( ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) ) +e ( ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) )
44		hashxnn0 13127	. . . . . . . . 9 |- ( { k e. J | v e. ( E ` k ) } e. _V -> ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) e. NN0* )
45	12, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) e. NN0*
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) e. NN0* )
47		hashxnn0 13127	. . . . . . . . 9 |- ( { k e. I | v e. ( E ` k ) } e. _V -> ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) e. NN0* )
48	13, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) e. NN0*
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) e. NN0* )
50		hashxnn0 13127	. . . . . . . . 9 |- ( { k e. J | ( E ` k ) = { v } } e. _V -> ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) e. NN0* )
51	30, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) e. NN0*
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) e. NN0* )
53		hashxnn0 13127	. . . . . . . . 9 |- ( { k e. I | ( E ` k ) = { v } } e. _V -> ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) e. NN0* )
54	31, 53	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) e. NN0*
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) e. NN0* )
56	46, 49, 52, 55	xnn0add4d 12134	. . . . . 6 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) ) +e ( ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) ) = ( ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) ) )
57		xnn0xaddcl 12066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) e. NN0* /\ ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) e. NN0* ) -> ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. NN0* )
58	45, 51, 57	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. NN0*
59		xnn0xr 11368	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. NN0* -> ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. RR* )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. RR*
61		xnn0xaddcl 12066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) e. NN0* /\ ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) e. NN0* ) -> ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. NN0* )
62	48, 54, 61	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. NN0*
63		xnn0xr 11368	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. NN0* -> ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. RR* )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. RR*
65		xaddcom 12071	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. RR* /\ ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) e. RR* ) -> ( ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) ) = ( ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) ) )
66	60, 64, 65	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) ) = ( ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) )
67		vtxdginducedm1.v	. . . . . . . . . . . 12 |- V = (Vtx ` G )
68		vtxdginducedm1.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( V \ { N } )
69		vtxdginducedm1.p	. . . . . . . . . . . 12 |- P = ( E |` I )
70		vtxdginducedm1.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = <. K , P >.
71	67, 9, 68, 2, 69, 70, 1	vtxdginducedm1lem4 26438	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) = 0 )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) = ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e 0 ) )
73		xnn0xr 11368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) e. NN0* -> ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) e. RR* )
74	45, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) e. RR*
75		xaddid1 12072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) e. RR* -> ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e 0 ) = ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e 0 ) = ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } )
77	72, 76	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) = ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) )
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = l -> ( E ` k ) = ( E ` l ) )
79	78	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = l -> ( v e. ( E ` k ) <-> v e. ( E ` l ) ) )
80	79	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . 10 |- { k e. J | v e. ( E ` k ) } = { l e. J | v e. ( E ` l ) }
81	80	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) = ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } )
82	77, 81	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) = ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) )
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) ) = ( ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) )
84	66, 83	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) ) = ( ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) )
85	56, 84	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( ( ( # ` { k e. J | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) ) +e ( ( # ` { k e. J | ( E ` k ) = { v } } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) ) = ( ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) )
86	43, 85	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( ( # ` { k e. dom E | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom E | ( E ` k ) = { v } } ) ) = ( ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) )
87	67, 9, 68, 2, 69, 70	vtxdginducedm1lem2 26436	. . . . . . . . . 10 |- dom (iEdg ` S ) = I
88	87	rabeqi 3193	. . . . . . . . 9 |- { k e. dom (iEdg ` S ) | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } = { k e. I | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) }
89	67, 9, 68, 2, 69, 70	vtxdginducedm1lem3 26437	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. I -> ( (iEdg ` S ) ` k ) = ( E ` k ) )
90	89	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. I -> ( v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) <-> v e. ( E ` k ) ) )
91	90	rabbiia 3185	. . . . . . . . 9 |- { k e. I | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } = { k e. I | v e. ( E ` k ) }
92	88, 91	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- { k e. dom (iEdg ` S ) | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } = { k e. I | v e. ( E ` k ) }
93	92	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } ) = ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } )
94	87	rabeqi 3193	. . . . . . . . 9 |- { k e. dom (iEdg ` S ) | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } = { k e. I | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } }
95	89	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. I -> ( ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } <-> ( E ` k ) = { v } ) )
96	95	rabbiia 3185	. . . . . . . . 9 |- { k e. I | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } = { k e. I | ( E ` k ) = { v } }
97	94, 96	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- { k e. dom (iEdg ` S ) | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } = { k e. I | ( E ` k ) = { v } }
98	97	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } ) = ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } )
99	93, 98	oveq12i 6662	. . . . . 6 |- ( ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } ) ) = ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) )
100	99	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) = ( ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } ) )
101	100	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( ( # ` { k e. I | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. I | ( E ` k ) = { v } } ) ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) = ( ( ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } ) ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) )
102	86, 101	syl6eq 2672	. . 3 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( ( # ` { k e. dom E | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom E | ( E ` k ) = { v } } ) ) = ( ( ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } ) ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) )
103		eldifi 3732	. . . 4 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> v e. V )
104		eqid 2622	. . . . 5 |- dom E = dom E
105	67, 9, 104	vtxdgval 26364	. . . 4 |- ( v e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( # ` { k e. dom E | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom E | ( E ` k ) = { v } } ) ) )
106	103, 105	syl 17	. . 3 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( # ` { k e. dom E | v e. ( E ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom E | ( E ` k ) = { v } } ) ) )
107	70	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- (Vtx ` S ) = (Vtx ` <. K , P >. )
108	67	fvexi 6202	. . . . . . . . . 10 |- V e. _V
109		difexg 4808	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. _V -> ( V \ { N } ) e. _V )
110	68, 109	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( V e. _V -> K e. _V )
111	108, 110	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- K e. _V
112		resexg 5442	. . . . . . . . . . 11 |- ( E e. _V -> ( E |` I ) e. _V )
113	69, 112	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. _V -> P e. _V )
114	10, 113	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- P e. _V
115	111, 114	opvtxfvi 25889	. . . . . . . 8 |- (Vtx ` <. K , P >. ) = K
116	107, 115	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- (Vtx ` S ) = K
117	116	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( v e. (Vtx ` S ) <-> v e. K )
118	68	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( v e. K <-> v e. ( V \ { N } ) )
119	117, 118	sylbbr 226	. . . . 5 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> v e. (Vtx ` S ) )
120		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Vtx ` S ) = (Vtx ` S )
121		eqid 2622	. . . . . 6 |- (iEdg ` S ) = (iEdg ` S )
122		eqid 2622	. . . . . 6 |- dom (iEdg ` S ) = dom (iEdg ` S )
123	120, 121, 122	vtxdgval 26364	. . . . 5 |- ( v e. (Vtx ` S ) -> ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } ) ) )
124	119, 123	syl 17	. . . 4 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } ) ) )
125	124	oveq1d 6665	. . 3 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) = ( ( ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | v e. ( (iEdg ` S ) ` k ) } ) +e ( # ` { k e. dom (iEdg ` S ) | ( (iEdg ` S ) ` k ) = { v } } ) ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) )
126	102, 106, 125	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) )
127	126	rgen 2922	1 |- A. v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   RR*cxr 10073  NN0*cxnn0 11363   +ecxad 11944   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  vtxdginducedm1fi  26440