Theorem vtxdginducedm1fi 26440

Description: The degree of a vertex v in the induced subgraph S of a pseudograph G of finite size obtained by removing one vertex N plus the number of edges joining the vertex v and the vertex N is the degree of the vertex v in the pseudograph G. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdginducedm1.e	|- E = (iEdg ` G )
vtxdginducedm1.k	|- K = ( V \ { N } )
vtxdginducedm1.i	|- I = { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) }
vtxdginducedm1.p	|- P = ( E |` I )
vtxdginducedm1.s	|- S = <. K , P >.
vtxdginducedm1.j	|- J = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) }

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1fi	|- ( E e. Fin -> A. v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) )

Distinct variable groups:   i, E   i, N   E, l   J, l   v, l, E

Allowed substitution hints:   P( v, i, l)   S( v, i, l)   G( v, i, l)   I( v, i, l)   J( v, i)   K( v, i, l)   N( v, l)   V( v, i, l)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdginducedm1.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		vtxdginducedm1.e	. . 3 |- E = (iEdg ` G )
3		vtxdginducedm1.k	. . 3 |- K = ( V \ { N } )
4		vtxdginducedm1.i	. . 3 |- I = { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) }
5		vtxdginducedm1.p	. . 3 |- P = ( E |` I )
6		vtxdginducedm1.s	. . 3 |- S = <. K , P >.
7		vtxdginducedm1.j	. . 3 |- J = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) }
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	vtxdginducedm1 26439	. 2 |- A. v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) )
9	5	dmeqi 5325	. . . . . . . . 9 |- dom P = dom ( E |` I )
10		finresfin 8186	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. Fin -> ( E |` I ) e. Fin )
11		dmfi 8244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E |` I ) e. Fin -> dom ( E |` I ) e. Fin )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( E e. Fin -> dom ( E |` I ) e. Fin )
13	9, 12	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( E e. Fin -> dom P e. Fin )
14	6	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- (Vtx ` S ) = (Vtx ` <. K , P >. )
15	1	fvexi 6202	. . . . . . . . . . . . 13 |- V e. _V
16	15	difexi 4809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V \ { N } ) e. _V
17	3, 16	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- K e. _V
18	2	fvexi 6202	. . . . . . . . . . . . 13 |- E e. _V
19	18	resex 5443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E |` I ) e. _V
20	5, 19	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- P e. _V
21	17, 20	opvtxfvi 25889	. . . . . . . . . 10 |- (Vtx ` <. K , P >. ) = K
22	14, 21, 3	3eqtrri 2649	. . . . . . . . 9 |- ( V \ { N } ) = (Vtx ` S )
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	vtxdginducedm1lem1 26435	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` S ) = P
24	23	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- P = (iEdg ` S )
25		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- dom P = dom P
26	22, 24, 25	vtxdgfisnn0 26371	. . . . . . . 8 |- ( ( dom P e. Fin /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( (VtxDeg ` S ) ` v ) e. NN0 )
27	13, 26	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( E e. Fin /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( (VtxDeg ` S ) ` v ) e. NN0 )
28	27	nn0red 11352	. . . . . 6 |- ( ( E e. Fin /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( (VtxDeg ` S ) ` v ) e. RR )
29		dmfi 8244	. . . . . . . . . . 11 |- ( E e. Fin -> dom E e. Fin )
30		rabfi 8185	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom E e. Fin -> { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } e. Fin )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. Fin -> { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } e. Fin )
32	7, 31	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( E e. Fin -> J e. Fin )
33		rabfi 8185	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Fin -> { l e. J | v e. ( E ` l ) } e. Fin )
34		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 |- ( { l e. J | v e. ( E ` l ) } e. Fin -> ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) e. NN0 )
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( E e. Fin -> ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) e. NN0 )
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( E e. Fin /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) e. NN0 )
37	36	nn0red 11352	. . . . . 6 |- ( ( E e. Fin /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) e. RR )
38	28, 37	rexaddd 12065	. . . . 5 |- ( ( E e. Fin /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) )
39	38	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( ( E e. Fin /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) <-> ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) ) )
40	39	biimpd 219	. . 3 |- ( ( E e. Fin /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) ) )
41	40	ralimdva 2962	. 2 |- ( E e. Fin -> ( A. v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) +e ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) -> A. v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) ) )
42	8, 41	mpi 20	1 |- ( E e. Fin -> A. v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + ( # ` { l e. J | v e. ( E ` l ) } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   + caddc 9939   NN0cn0 11292   +ecxad 11944   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  26444