Theorem xpcid 16829

Description: The identity morphism in the product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpccat.t	|- T = ( C X.c D )
xpccat.c	|- ( ph -> C e. Cat )
xpccat.d	|- ( ph -> D e. Cat )
xpccat.x	|- X = ( Base ` C )
xpccat.y	|- Y = ( Base ` D )
xpccat.i	|- I = ( Id ` C )
xpccat.j	|- J = ( Id ` D )
xpcid.1	|- .1. = ( Id ` T )
xpcid.r	|- ( ph -> R e. X )
xpcid.s	|- ( ph -> S e. Y )

Assertion

Ref	Expression
xpcid	|- ( ph -> ( .1. ` <. R , S >. ) = <. ( I ` R ) , ( J ` S ) >. )

Proof of Theorem xpcid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6653	. 2 |- ( R .1. S ) = ( .1. ` <. R , S >. )
2		xpcid.1	. . . 4 |- .1. = ( Id ` T )
3		xpccat.t	. . . . . 6 |- T = ( C X.c D )
4		xpccat.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. Cat )
5		xpccat.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. Cat )
6		xpccat.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` C )
7		xpccat.y	. . . . . 6 |- Y = ( Base ` D )
8		xpccat.i	. . . . . 6 |- I = ( Id ` C )
9		xpccat.j	. . . . . 6 |- J = ( Id ` D )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	xpccatid 16828	. . . . 5 |- ( ph -> ( T e. Cat /\ ( Id ` T ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( I ` x ) , ( J ` y ) >. ) ) )
11	10	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( Id ` T ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( I ` x ) , ( J ` y ) >. ) )
12	2, 11	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> .1. = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( I ` x ) , ( J ` y ) >. ) )
13		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = R /\ y = S ) ) -> x = R )
14	13	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x = R /\ y = S ) ) -> ( I ` x ) = ( I ` R ) )
15		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = R /\ y = S ) ) -> y = S )
16	15	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x = R /\ y = S ) ) -> ( J ` y ) = ( J ` S ) )
17	14, 16	opeq12d 4410	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x = R /\ y = S ) ) -> <. ( I ` x ) , ( J ` y ) >. = <. ( I ` R ) , ( J ` S ) >. )
18		xpcid.r	. . 3 |- ( ph -> R e. X )
19		xpcid.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Y )
20		opex 4932	. . . 4 |- <. ( I ` R ) , ( J ` S ) >. e. _V
21	20	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> <. ( I ` R ) , ( J ` S ) >. e. _V )
22	12, 17, 18, 19, 21	ovmpt2d 6788	. 2 |- ( ph -> ( R .1. S ) = <. ( I ` R ) , ( J ` S ) >. )
23	1, 22	syl5eqr 2670	1 |- ( ph -> ( .1. ` <. R , S >. ) = <. ( I ` R ) , ( J ` S ) >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   Catccat 16325   Idccid 16326   X._c cxpc 16808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-xpc 16812

This theorem is referenced by:  1stfcl  16837  2ndfcl  16838  prfcl  16843  evlfcl  16862  curf1cl  16868  curfcl  16872  hofcl  16899