Theorem zmax 11785

Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmax	|- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem zmax

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 10344	. . 3 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
2		zmin 11784	. . 3 |- ( -u A e. RR -> E! z e. ZZ ( -u A <_ z /\ A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> z <_ w ) ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( A e. RR -> E! z e. ZZ ( -u A <_ z /\ A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> z <_ w ) ) )
4		zre 11381	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
5		leneg 10531	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A e. RR ) -> ( x <_ A <-> -u A <_ -u x ) )
6	4, 5	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) -> ( x <_ A <-> -u A <_ -u x ) )
7	6	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( x <_ A <-> -u A <_ -u x ) )
8		znegcl 11412	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ZZ -> -u w e. ZZ )
9		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = -u w -> ( y <_ A <-> -u w <_ A ) )
10		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = -u w -> ( y <_ x <-> -u w <_ x ) )
11	9, 10	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = -u w -> ( ( y <_ A -> y <_ x ) <-> ( -u w <_ A -> -u w <_ x ) ) )
12	11	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( -u w e. ZZ -> ( A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) -> ( -u w <_ A -> -u w <_ x ) ) )
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ZZ -> ( A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) -> ( -u w <_ A -> -u w <_ x ) ) )
14		zre 11381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ZZ -> w e. RR )
15		lenegcon1 10532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. RR /\ A e. RR ) -> ( -u w <_ A <-> -u A <_ w ) )
16	15	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. RR /\ ( A e. RR /\ x e. ZZ ) ) -> ( -u w <_ A <-> -u A <_ w ) )
17		lenegcon1 10532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u w <_ x <-> -u x <_ w ) )
18	4, 17	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( -u w <_ x <-> -u x <_ w ) )
19	18	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. RR /\ ( A e. RR /\ x e. ZZ ) ) -> ( -u w <_ x <-> -u x <_ w ) )
20	16, 19	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. RR /\ ( A e. RR /\ x e. ZZ ) ) -> ( ( -u w <_ A -> -u w <_ x ) <-> ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) )
21	14, 20	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ZZ /\ ( A e. RR /\ x e. ZZ ) ) -> ( ( -u w <_ A -> -u w <_ x ) <-> ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) )
22	21	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. ZZ /\ ( A e. RR /\ x e. ZZ ) ) -> ( ( -u w <_ A -> -u w <_ x ) -> ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) )
23	22	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ZZ -> ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( -u w <_ A -> -u w <_ x ) -> ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) ) )
24	23	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ZZ -> ( ( -u w <_ A -> -u w <_ x ) -> ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) ) )
25	13, 24	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( w e. ZZ -> ( A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) -> ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) ) )
26	25	com13 88	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) -> ( w e. ZZ -> ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) ) )
27	26	ralrimdv 2968	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) -> A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) )
28		znegcl 11412	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
29		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u y -> ( -u A <_ w <-> -u A <_ -u y ) )
30		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u y -> ( -u x <_ w <-> -u x <_ -u y ) )
31	29, 30	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = -u y -> ( ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) <-> ( -u A <_ -u y -> -u x <_ -u y ) ) )
32	31	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( -u y e. ZZ -> ( A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) -> ( -u A <_ -u y -> -u x <_ -u y ) ) )
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) -> ( -u A <_ -u y -> -u x <_ -u y ) ) )
34		zre 11381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
35		leneg 10531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ A e. RR ) -> ( y <_ A <-> -u A <_ -u y ) )
36	35	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR /\ ( A e. RR /\ x e. ZZ ) ) -> ( y <_ A <-> -u A <_ -u y ) )
37		leneg 10531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( y <_ x <-> -u x <_ -u y ) )
38	4, 37	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x <-> -u x <_ -u y ) )
39	38	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR /\ ( A e. RR /\ x e. ZZ ) ) -> ( y <_ x <-> -u x <_ -u y ) )
40	36, 39	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ ( A e. RR /\ x e. ZZ ) ) -> ( ( y <_ A -> y <_ x ) <-> ( -u A <_ -u y -> -u x <_ -u y ) ) )
41	34, 40	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ ( A e. RR /\ x e. ZZ ) ) -> ( ( y <_ A -> y <_ x ) <-> ( -u A <_ -u y -> -u x <_ -u y ) ) )
42	41	exbiri 652	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( -u A <_ -u y -> -u x <_ -u y ) -> ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) )
43	42	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( ( -u A <_ -u y -> -u x <_ -u y ) -> ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) )
44	33, 43	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> ( A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) -> ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) )
45	44	com13 88	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) -> ( y e. ZZ -> ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) )
46	45	ralrimdv 2968	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) -> A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) )
47	27, 46	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) <-> A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) )
48	7, 47	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) <-> ( -u A <_ -u x /\ A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) ) )
49	48	reubidva 3125	. . 3 |- ( A e. RR -> ( E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) <-> E! x e. ZZ ( -u A <_ -u x /\ A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) ) )
50		znegcl 11412	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
51		znegcl 11412	. . . . 5 |- ( z e. ZZ -> -u z e. ZZ )
52		zcn 11382	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> z e. CC )
53		zcn 11382	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
54		negcon2 10334	. . . . . 6 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z = -u x <-> x = -u z ) )
55	52, 53, 54	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( z = -u x <-> x = -u z ) )
56	51, 55	reuhyp 4896	. . . 4 |- ( z e. ZZ -> E! x e. ZZ z = -u x )
57		breq2 4657	. . . . 5 |- ( z = -u x -> ( -u A <_ z <-> -u A <_ -u x ) )
58		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( z = -u x -> ( z <_ w <-> -u x <_ w ) )
59	58	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( z = -u x -> ( ( -u A <_ w -> z <_ w ) <-> ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) )
60	59	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( z = -u x -> ( A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> z <_ w ) <-> A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) )
61	57, 60	anbi12d 747	. . . 4 |- ( z = -u x -> ( ( -u A <_ z /\ A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> z <_ w ) ) <-> ( -u A <_ -u x /\ A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) ) )
62	50, 56, 61	reuxfr 4894	. . 3 |- ( E! z e. ZZ ( -u A <_ z /\ A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> z <_ w ) ) <-> E! x e. ZZ ( -u A <_ -u x /\ A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> -u x <_ w ) ) )
63	49, 62	syl6rbbr 279	. 2 |- ( A e. RR -> ( E! z e. ZZ ( -u A <_ z /\ A. w e. ZZ ( -u A <_ w -> z <_ w ) ) <-> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) )
64	3, 63	mpbid 222	1 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   class class class wbr 4653   CCcc 9934   RRcr 9935   <_ cle 10075   -ucneg 10267   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  flval2  12615