Theorem zmin 11784

Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zmin	|- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem zmin

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 11397	. . . . . 6 |- NN C_ ZZ
2		arch 11289	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> E. z e. NN A < z )
3		ssrexv 3667	. . . . . 6 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. z e. NN A < z -> E. z e. ZZ A < z ) )
4	1, 2, 3	mpsyl 68	. . . . 5 |- ( A e. RR -> E. z e. ZZ A < z )
5		zre 11381	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
6		ltle 10126	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ z e. RR ) -> ( A < z -> A <_ z ) )
7	5, 6	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ z e. ZZ ) -> ( A < z -> A <_ z ) )
8	7	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( E. z e. ZZ A < z -> E. z e. ZZ A <_ z ) )
9	4, 8	mpd 15	. . . 4 |- ( A e. RR -> E. z e. ZZ A <_ z )
10		rabn0 3958	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | A <_ z } =/= (/) <-> E. z e. ZZ A <_ z )
11	9, 10	sylibr 224	. . 3 |- ( A e. RR -> { z e. ZZ | A <_ z } =/= (/) )
12		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( A <_ z <-> A <_ n ) )
13	12	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { z e. ZZ | A <_ z } = { n e. ZZ | A <_ n }
14	13	eqimssi 3659	. . . 4 |- { z e. ZZ | A <_ z } C_ { n e. ZZ | A <_ n }
15		uzwo3 11783	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( { z e. ZZ | A <_ z } C_ { n e. ZZ | A <_ n } /\ { z e. ZZ | A <_ z } =/= (/) ) ) -> E! x e. { z e. ZZ | A <_ z } A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y )
16	14, 15	mpanr1 719	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ { z e. ZZ | A <_ z } =/= (/) ) -> E! x e. { z e. ZZ | A <_ z } A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y )
17	11, 16	mpdan 702	. 2 |- ( A e. RR -> E! x e. { z e. ZZ | A <_ z } A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y )
18		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( A <_ z <-> A <_ x ) )
19	18	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. ZZ | A <_ z } <-> ( x e. ZZ /\ A <_ x ) )
20		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( A <_ z <-> A <_ y ) )
21	20	ralrab 3368	. . . . . 6 |- ( A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y <-> A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) )
22	19, 21	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. ZZ | A <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) <-> ( ( x e. ZZ /\ A <_ x ) /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) )
23		anass 681	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ZZ /\ A <_ x ) /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) <-> ( x e. ZZ /\ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) )
24	22, 23	bitri 264	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. ZZ | A <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) <-> ( x e. ZZ /\ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) )
25	24	eubii 2492	. . 3 |- ( E! x ( x e. { z e. ZZ | A <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) <-> E! x ( x e. ZZ /\ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) )
26		df-reu 2919	. . 3 |- ( E! x e. { z e. ZZ | A <_ z } A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y <-> E! x ( x e. { z e. ZZ | A <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y ) )
27		df-reu 2919	. . 3 |- ( E! x e. ZZ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) <-> E! x ( x e. ZZ /\ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) )
28	25, 26, 27	3bitr4i 292	. 2 |- ( E! x e. { z e. ZZ | A <_ z } A. y e. { z e. ZZ | A <_ z } x <_ y <-> E! x e. ZZ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) )
29	17, 28	sylib 208	1 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   E!weu 2470   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  zmax  11785  zbtwnre  11786