Theorem zbtwnre 11786

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	|- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( A <_ x /\ x < ( A + 1 ) ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem zbtwnre

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 11784	. 2 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) )
2		zre 11381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
3		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
4		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ZZ -> ( x - 1 ) e. RR )
6		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR /\ A e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( x - 1 ) < A /\ A <_ y ) -> ( x - 1 ) < y ) )
7	5, 6	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( x - 1 ) < A /\ A <_ y ) -> ( x - 1 ) < y ) )
8	7	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( ( ( x - 1 ) < A /\ A <_ y ) -> ( x - 1 ) < y ) )
9	2, 8	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( x - 1 ) < A /\ A <_ y ) -> ( x - 1 ) < y ) )
10		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x <_ y <-> ( x - 1 ) < y ) )
11	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) /\ y e. ZZ ) -> ( x <_ y <-> ( x - 1 ) < y ) )
12	9, 11	sylibrd 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( x - 1 ) < A /\ A <_ y ) -> x <_ y ) )
13	12	exp4b 632	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) -> ( y e. ZZ -> ( ( x - 1 ) < A -> ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) )
14	13	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) -> ( ( x - 1 ) < A -> ( y e. ZZ -> ( A <_ y -> x <_ y ) ) ) )
15	14	ralrimdv 2968	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) -> ( ( x - 1 ) < A -> A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) )
16	5	ltnrd 10171	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> -. ( x - 1 ) < ( x - 1 ) )
17		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> ( x - 1 ) e. ZZ )
18		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x - 1 ) e. ZZ ) -> ( x <_ ( x - 1 ) <-> ( x - 1 ) < ( x - 1 ) ) )
19	17, 18	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( x <_ ( x - 1 ) <-> ( x - 1 ) < ( x - 1 ) ) )
20	16, 19	mtbird 315	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> -. x <_ ( x - 1 ) )
21	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) -> -. x <_ ( x - 1 ) )
22		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ ( x - 1 ) e. RR ) -> ( A <_ ( x - 1 ) <-> -. ( x - 1 ) < A ) )
23	5, 22	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( A <_ ( x - 1 ) <-> -. ( x - 1 ) < A ) )
24	23	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) -> ( A <_ ( x - 1 ) <-> -. ( x - 1 ) < A ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) -> ( A <_ ( x - 1 ) <-> -. ( x - 1 ) < A ) )
26		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x - 1 ) -> ( A <_ y <-> A <_ ( x - 1 ) ) )
27		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x - 1 ) -> ( x <_ y <-> x <_ ( x - 1 ) ) )
28	26, 27	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x - 1 ) -> ( ( A <_ y -> x <_ y ) <-> ( A <_ ( x - 1 ) -> x <_ ( x - 1 ) ) ) )
29	28	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x - 1 ) e. ZZ -> ( A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) -> ( A <_ ( x - 1 ) -> x <_ ( x - 1 ) ) ) )
30	17, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> ( A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) -> ( A <_ ( x - 1 ) -> x <_ ( x - 1 ) ) ) )
31	30	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) -> ( A <_ ( x - 1 ) -> x <_ ( x - 1 ) ) )
32	31	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) -> ( A <_ ( x - 1 ) -> x <_ ( x - 1 ) ) )
33	25, 32	sylbird 250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) -> ( -. ( x - 1 ) < A -> x <_ ( x - 1 ) ) )
34	21, 33	mt3d 140	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) -> ( x - 1 ) < A )
35	34	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) -> ( A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) -> ( x - 1 ) < A ) )
36	15, 35	impbid 202	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) -> ( ( x - 1 ) < A <-> A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) )
37		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
38		ltsubadd 10498	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( x - 1 ) < A <-> x < ( A + 1 ) ) )
39	37, 38	mp3an2 1412	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( x - 1 ) < A <-> x < ( A + 1 ) ) )
40	3, 39	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) -> ( ( x - 1 ) < A <-> x < ( A + 1 ) ) )
41	36, 40	bitr3d 270	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. RR ) -> ( A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) <-> x < ( A + 1 ) ) )
42	41	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) <-> x < ( A + 1 ) ) )
43	42	anbi2d 740	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) <-> ( A <_ x /\ x < ( A + 1 ) ) ) )
44	43	reubidva 3125	. 2 |- ( A e. RR -> ( E! x e. ZZ ( A <_ x /\ A. y e. ZZ ( A <_ y -> x <_ y ) ) <-> E! x e. ZZ ( A <_ x /\ x < ( A + 1 ) ) ) )
45	1, 44	mpbid 222	1 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( A <_ x /\ x < ( A + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  rebtwnz  11787  qbtwnre  12030  dfceil2  12640