Theorem 37prm 15828

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11310	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 11190	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11518	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 11315	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 11311	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 11314	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 11308	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 11675	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 11191	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 11679	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 11546	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 11532	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 11186	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 11681	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 11546	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 11179	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 11084	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 15767	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 11309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 11031	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 11313	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 11156	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 11307	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 11095	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulid1i 10042	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addid1i 10223	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 11522	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 11589	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 11535	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 11196	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 11185	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 11202	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 11165	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 15769	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 11312	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 11651	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 11579	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 11213	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 11187	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mulid2i 10043	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 11030	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 11163	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 10228	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 11576	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 11678	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 11546	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 11091	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mulid2i 10043	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 23, 63, 17	decmul1 11585	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 11151	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 11570	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 11530	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 11132	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 11648	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 11546	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 11192	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 11316	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 11030	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulid1i 10042	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 11134	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 11626	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 11572	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 11222	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 11530	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 11030	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulid1i 10042	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 11570	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 11194	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 11532	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 15827	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  1259prm  15843