Theorem 43prm 15829

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11311	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 11186	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11518	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 11315	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 11310	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 11308	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 11679	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11191	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 11678	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 11546	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 11532	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 11187	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 11681	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 11546	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 11091	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mulid2i 10043	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 11080	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 15767	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 11031	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 11307	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 11095	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulid1i 10042	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 11153	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 11309	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 11151	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 11098	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 11632	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 11535	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 11196	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 11201	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 15768	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 11190	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 11313	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 11652	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 11535	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 11214	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 11525	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addid1i 10223	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addid1i 10223	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 11522	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2648	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 10550	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 11530	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 11180	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 11622	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 11546	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 11192	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 11300	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 11300	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 11144	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 11648	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 11134	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 11030	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 10228	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 11580	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 11673	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 11546	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 11188	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 11300	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 11663	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 11615	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 11580	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 11677	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 11546	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 11185	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 11525	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 11030	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulid1i 10042	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 11570	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 11114	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 11530	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 15827	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  bpos1  25008