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Theorem axcontlem8 25851

Description: Lemma for axcont 25856. A point in

is between two others if its function value falls in the middle. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axcontlem8.1	$\/$
axcontlem8.2	$/\$ $/\$

**Assertion**
Ref	Expression
axcontlem8	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

**Proof of Theorem axcontlem8**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcontlem8.1	. . . . . . . . 9 $\/$
2		axcontlem8.2	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
3	1, 2	axcontlem6 25849	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	3	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	1, 2	axcontlem6 25849	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	1, 2	axcontlem6 25849	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	4, 6, 8	3anim123d 1406	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	imp 445	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		3an6 1409	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		0elunit 12290	. . . . . . . . . . . 12
14		simplr1 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
17	16	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	22, 23	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		simplr2 1104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	26	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
29	28	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	18, 30	letri3d 10179	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	21, 25, 31	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
38	36, 37	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
43	41, 42	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
45		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
46		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
47	44, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
48		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
49	47, 48	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
50		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	50	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
52	49, 51	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
53	52	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
54	52	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
55	53, 54	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
56	52	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
57	55, 56	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
58	57	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	60, 61	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
65		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66	64, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
69	62, 68	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	69	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	58, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	19, 32, 33, 38, 43, 71	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75		1m0e1 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	74, 75	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14
81	80	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	13, 73, 82	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	83	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		simplr3 1105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
90	89	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	88, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	92, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	86, 91, 93, 94	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	86, 93	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	86, 93	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	97, 98	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	91, 93	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	93, 86, 91, 97, 94	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	93, 91	ltlend 10182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	101, 103, 104	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	93, 91	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	105, 106	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		divelunit 12314	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
109	96, 99, 100, 107, 108	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	95, 109	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	14	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	17	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	26	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	29	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	87	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	90	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	34	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121, 37	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	39	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123, 42	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	125, 126	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	44, 128, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	127, 129	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	126, 128	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
133	44, 125, 132	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	131, 133	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	125, 128	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	136	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	125, 128, 137	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	130, 134, 135, 138	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	135	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	135, 126	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	126, 125, 128	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	141, 142	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	140, 143	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145		subdi 10463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
146	44, 145	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	135, 126, 146	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148		subdi 10463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
149	44, 148	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
150	127, 128, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	127	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	125, 126, 128	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	125, 128	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	153	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	152, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	151, 155	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	150, 156	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		subdi 10463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
159	44, 158	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
160	131, 125, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	131	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	126, 128, 125	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	161, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	160, 163	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	157, 164	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	128, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	126, 128	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	166, 167	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
170	169	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	170, 166	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	127, 131, 168, 171	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	125, 126, 128	npncand 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	166, 167, 170	npncan3d 10428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	173, 174	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	165, 172, 175	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	144, 147, 176	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	130, 134	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
180	44, 126, 179	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	178, 135, 180, 138	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182	177, 181	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183	127, 129, 135, 138	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	135, 131, 135, 138	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	125, 126, 128	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	185	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	135, 138	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	187	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	184, 186, 188	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	189	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	183, 190	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	131, 133, 135, 138	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193	191, 192	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194	139, 182, 193	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
195	194	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
196	127, 128	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197	131, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
198	196, 197, 135, 138	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	155, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	174, 199, 143	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	196, 197	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202	201, 135, 126, 138	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
203	200, 202	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204	127, 128, 135, 138	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	189	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	204, 205	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207	131, 125, 135, 138	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	206, 207	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
209	198, 203, 208	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
210	209	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
211	195, 210	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
212	131, 135, 138	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
213		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
214	44, 212, 213	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
215		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
216	129, 215	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
217	214, 216	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
218	133, 215	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
219	212, 218	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
220		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
221	128, 220	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
222	214, 221	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
223	125, 220	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
224	212, 223	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
225	217, 219, 222, 224	add4d 10264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
226	214, 129	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
227	212, 133	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
228	226, 227, 215	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	214, 129, 215	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	212, 133, 215	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	229, 230	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
232	228, 231	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	214, 128	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	212, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	233, 234, 220	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
236	214, 128, 220	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
237	212, 125, 220	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
238	236, 237	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
239	235, 238	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
240	232, 239	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241	214, 216, 221	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
242	212, 218, 223	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
243	241, 242	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
244	225, 240, 243	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
245	211, 244	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
246	113, 114, 117, 120, 122, 124, 245	syl222anc 1342	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
247	246	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
248		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
249	248	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
250		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
251	249, 250	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
252	251	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14
253	252	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13
254	253	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
255	110, 247, 254	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
256	255	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
257	84, 256	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
258		r19.26-3 3066	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
259		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
260		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
261		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
262	260, 261	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
263	262	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
264	259, 263	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
265	264	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
266		ralbi 3068	. . . . . . . . . . . . 13
267	265, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
268	267	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
269	268	biimprcd 240	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
270	258, 269	syl5bir 233	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
271	257, 270	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
272	271	an32s 846	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
273	272	expimpd 629	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
274	273	adantlr 751	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
275	12, 274	syl5bi 232	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
276	11, 275	mpd 15	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
277		simpl1 1064	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
278		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 $\/$
279	1, 278	eqsstri 3635	. . . . . . . 8
280	279	sseli 3599	. . . . . . 7
281	279	sseli 3599	. . . . . . 7
282	279	sseli 3599	. . . . . . 7
283	280, 281, 282	3anim123i 1247	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
284	283	3com12 1269	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
285		brbtwn 25779	. . . . . 6 $/\$ $/\$
286	285	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
287	277, 284, 286	syl2an 494	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
288	287	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
289	276, 288	mpbird 247	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
290	289	ex 450	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cop 4183 class class class wbr 4653

copab 4712

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cico 12177

cicc 12178

cfz 12326

cee 25768

cbtwn 25769

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-z 11378 df-uz 11688 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-ee 25771 df-btwn 25772

This theorem is referenced by: axcontlem10 25853

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