Theorem divsubdird 10840

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 10721	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1330	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   − cmin 10266   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12318  discr  13001  crre  13854  reccn2  14327  iseralt  14415  trireciplem  14594  geolim  14601  geolim2  14602  georeclim  14603  bpolydiflem  14785  bitsinv1lem  15163  fldivp1  15601  mul4sqlem  15657  lebnumii  22765  dyadovol  23361  mbfi1fseqlem6  23487  dvmptdiv  23737  dveflem  23742  dvsincos  23744  dvlip  23756  ulmdvlem1  24154  efeq1  24275  tanarg  24365  logcnlem4  24391  ang180lem1  24539  angpieqvdlem  24555  chordthmlem2  24560  chordthmlem4  24562  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  mcubic  24574  cubic2  24575  dquartlem1  24578  dquartlem2  24579  dquart  24580  2efiatan  24645  tanatan  24646  atantan  24650  dvatan  24662  atantayl  24664  atantayl2  24665  birthdaylem2  24679  jensenlem2  24714  logdiflbnd  24721  emcllem2  24723  lgamgulmlem2  24756  basellem8  24814  lgseisenlem1  25100  lgsquadlem2  25106  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  2vmadivsumlem  25229  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  pntrmax  25253  pntrsumo1  25254  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntrlog2bndlem4  25269  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntlemo  25296  pntlem3  25298  brbtwn2  25785  axsegconlem9  25805  axsegconlem10  25806  axpaschlem  25820  axcontlem8  25851  dya2icoseg  30339  itg2addnclem  33461  pellexlem2  37394  pellexlem6  37398  areaquad  37802  hashnzfzclim  38521  binomcxplemrat  38549  oddfl  39489  sumnnodd  39862  itgcoscmulx  40185  itgsincmulx  40190  stirlinglem1  40291  stirlinglem6  40296  dirkercncflem1  40320  fourierdlem26  40350  fourierdlem30  40354  fourierdlem65  40388