Theorem cnf 21050

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 21042	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 480	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 475	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∪ cuni 4436  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  ⟶wf 5884  (class class class)co 6650  Topctop 20698   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  cnco  21070  cnclima  21072  cnntri  21075  cnclsi  21076  cnss1  21080  cnss2  21081  cncnpi  21082  cncnp2  21085  cnrest  21089  cnrest2  21090  cnt0  21150  cnt1  21154  cnhaus  21158  dnsconst  21182  cncmp  21195  rncmp  21199  imacmp  21200  cnconn  21225  connima  21228  conncn  21229  2ndcomap  21261  kgencn2  21360  kgencn3  21361  txcnmpt  21427  uptx  21428  txcn  21429  hauseqlcld  21449  xkohaus  21456  xkoptsub  21457  xkopjcn  21459  xkoco1cn  21460  xkoco2cn  21461  xkococnlem  21462  cnmpt11f  21467  cnmpt21f  21475  hmeocnv  21565  hmeores  21574  txhmeo  21606  cnextfres  21873  bndth  22757  evth  22758  evth2  22759  htpyco2  22778  phtpyco2  22789  reparphti  22797  copco  22818  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcoass  22824  pcorevlem  22826  pcorev2  22828  hauseqcn  29941  pl1cn  30001  rrhf  30042  esumcocn  30142  cnmbfm  30325  cnpconn  31212  ptpconn  31215  sconnpi1  31221  txsconnlem  31222  cvxsconn  31225  cvmseu  31258  cvmopnlem  31260  cvmfolem  31261  cvmliftmolem1  31263  cvmliftmolem2  31264  cvmliftlem3  31269  cvmliftlem6  31272  cvmliftlem7  31273  cvmliftlem8  31274  cvmliftlem9  31275  cvmliftlem10  31276  cvmliftlem11  31277  cvmliftlem13  31278  cvmliftlem15  31280  cvmlift2lem3  31287  cvmlift2lem5  31289  cvmlift2lem7  31291  cvmlift2lem9  31293  cvmlift2lem10  31294  cvmliftphtlem  31299  cvmlift3lem1  31301  cvmlift3lem2  31302  cvmlift3lem4  31304  cvmlift3lem5  31305  cvmlift3lem6  31306  cvmlift3lem7  31307  cvmlift3lem8  31308  cvmlift3lem9  31309  poimirlem31  33440  poimir  33442  broucube  33443  cnres2  33562  cnresima  33563  hausgraph  37790  refsum2cnlem1  39196  itgsubsticclem  40191  stoweidlem62  40279  cnfsmf  40949