Theorem refsum2cnlem1 39196

Description: This is the core Lemma for refsum2cn 39197: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
refsum2cnlem1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
refsum2cnlem1.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
refsum2cnlem1.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐺
refsum2cnlem1.4	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
refsum2cnlem1.5	⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
refsum2cnlem1.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsum2cnlem1.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsum2cnlem1.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
refsum2cnlem1.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
refsum2cnlem1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem refsum2cnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refsum2cnlem1.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		refsum2cnlem1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
3		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
4	2, 3	nfcxfr 2762	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
5		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘1
6	4, 5	nffv 6198	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴‘1)
7		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
8	6, 7	nffv 6198	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐴‘1)‘𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑘((𝐴‘1)‘𝑥))
10		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘2
11	4, 10	nffv 6198	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴‘2)
12	11, 7	nffv 6198	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐴‘2)‘𝑥)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑘((𝐴‘2)‘𝑥))
14		1cnd 10056	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15		2cnd 11093	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
16		1ex 10035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
17	16	prid1 4297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
18		refsum2cnlem1.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19		refsum2cnlem1.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
20	18, 19	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
22	21	ifbid 4108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
23	22, 2	fvmptg 6280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ {1, 2} ∧ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
24	17, 20, 23	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
25		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = 1
26	25	iftruei 4093	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹
27	24, 26	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) = 𝐹)
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴‘1) = 𝐹)
29	28	fveq1d 6193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
32	30, 31	cnf 21050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
33	18, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
34		refsum2cnlem1.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
37	36	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = 𝑋)
38		refsum2cnlem1.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
39	38	unieqi 4445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
40		uniretop 22566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
41	39, 40	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐾 = ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 = ℝ)
43	37, 42	feq23d 6040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
44	33, 43	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
45	44	anim1i 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
46		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
47		recn 10026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
49	29, 48	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) ∈ ℂ)
50		2ex 11092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ V
51	50	prid2 4298	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
52	18, 19	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 = 1 ↔ 2 = 1))
54	53	ifbid 4108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
55	54, 2	fvmptg 6280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ {1, 2} ∧ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
56	51, 52, 55	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
57		1ne2 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
58	57	nesymi 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 2 = 1
59	58	iffalsei 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺
60	56, 59	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) = 𝐺)
61	60	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴‘2) = 𝐺)
62	61	fveq1d 6193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
63	30, 31	cnf 21050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
64	19, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
65	37, 42	feq23d 6040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
66	64, 65	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
67	66	anim1i 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
68		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
69		recn 10026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
70	67, 68, 69	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
71	62, 70	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) ∈ ℂ)
72	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ≠ 2)
73		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘1))
74	73	fveq1d 6193	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
75	74	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
76		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘2))
77	76	fveq1d 6193	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
78	77	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
79	9, 13, 14, 15, 49, 71, 72, 75, 78	sumpair 39194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)))
80	29, 62	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
81	79, 80	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
82	1, 81	mpteq2da 4743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
83		prfi 8235	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ Fin
84	83	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {1, 2} ∈ Fin)
85		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = 𝑋
86	85	ax-gen 1722	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 𝑋 = 𝑋
87		refsum2cnlem1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
88		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
89	87, 88	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘)
90		refsum2cnlem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
91	89, 90	nfeq 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘) = 𝐹
92		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
93	92	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)))
94	91, 93	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
95		mpteq12f 4731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
96	86, 94, 95	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
97	96	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
98		retopon 22567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
99	38, 98	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
101		cnf2 21053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
102	34, 100, 18, 101	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
103		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
105	90	dffn5f 6252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 ↔ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
106	104, 105	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
107	106	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
108	97, 107	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = 𝐹)
109	18	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110	108, 109	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
111	110	adantlr 751	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
112		refsum2cnlem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
113	89, 112	nfeq 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘) = 𝐺
114		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
115	114	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
116	113, 115	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
117		mpteq12f 4731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
118	86, 116, 117	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
119	118	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
120		cnf2 21053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
121	34, 100, 19, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
122		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:𝑋⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝑋)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
124	112	dffn5f 6252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Fn 𝑋 ↔ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
125	123, 124	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
126	125	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
127	119, 126	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = 𝐺)
128	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
129	127, 128	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
130	129	adantlr 751	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
131		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → 𝑘 ∈ {1, 2})
132	18, 19	ifcld 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
133	132	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
134	2	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {1, 2} ∧ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
135	131, 133, 134	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
136		iftrue 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹)
137	135, 136	sylan9eq 2676	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → (𝐴‘𝑘) = 𝐹)
138	137	orcd 407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
139	135	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
140		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → (1 ≠ 𝑘 ↔ 1 ≠ 2))
141	57, 140	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → 1 ≠ 𝑘)
142	141	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 1)
143	142	neneqd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → ¬ 𝑘 = 1)
144	143	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ¬ 𝑘 = 1)
145	144	iffalsed 4097	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺)
146	139, 145	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴‘𝑘) = 𝐺)
147	146	olcd 408	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
148		elpri 4197	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {1, 2} → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
149	148	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
150	138, 147, 149	mpjaodan 827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
151	111, 130, 150	mpjaodan 827	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
152	1, 38, 34, 84, 151	refsumcn 39189	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
153	82, 152	eqeltrrd 2702	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384  ∀wal 1481   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  Ⅎwnfc 2751   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ifcif 4086  {cpr 4179  ∪ cuni 4436   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939  2c2 11070  (,)cioo 12175  Σcsu 14416  topGenctg 16098  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  refsum2cn  39197