Theorem cusgrsize2inds 26349

Description: Induction step in cusgrsize 26350. If the size of the complete graph with n vertices reduced by one vertex is " ( n - 1 ) choose 2", the size of the complete graph with n vertices is " n choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrsizeindb0.v	|- V = (Vtx ` G )
cusgrsizeindb0.e	|- E = (Edg ` G )
cusgrsizeinds.f	|- F = { e e. E | N e/ e }

Assertion

Ref	Expression
cusgrsize2inds	|- ( Y e. NN0 -> ( ( G e. ComplUSGraph /\ ( # ` V ) = Y /\ N e. V ) -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, E   e, G   e, N   e, V

Allowed substitution hints:   F( e)   Y( e)

Proof of Theorem cusgrsize2inds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrsizeindb0.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
2		fvex 6201	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . 4 |- V e. _V
4		hashnn0n0nn 13180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. _V /\ Y e. NN0 ) /\ ( ( # ` V ) = Y /\ N e. V ) ) -> Y e. NN )
5	4	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( V e. _V /\ Y e. NN0 ) /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) -> Y e. NN )
6		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) /\ Y e. NN ) -> V e. _V )
7		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) /\ Y e. NN ) -> N e. V )
8		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y = ( # ` V ) -> ( Y e. NN <-> ( # ` V ) e. NN ) )
9	8	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` V ) = Y -> ( Y e. NN <-> ( # ` V ) e. NN ) )
10		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( ( # ` V ) - 1 ) e. NN0 )
11	9, 10	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` V ) = Y -> ( Y e. NN -> ( ( # ` V ) - 1 ) e. NN0 ) )
12	11	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) -> ( Y e. NN -> ( ( # ` V ) - 1 ) e. NN0 ) )
13	12	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) /\ Y e. NN ) -> ( ( # ` V ) - 1 ) e. NN0 )
14		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( # ` V ) e. CC )
15		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` V ) e. NN -> 1 e. CC )
16	14, 15	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( ( ( # ` V ) - 1 ) + 1 ) = ( # ` V ) )
17	16	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( # ` V ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + 1 ) )
18	9, 17	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` V ) = Y -> ( Y e. NN -> ( # ` V ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + 1 ) ) )
19	18	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) -> ( Y e. NN -> ( # ` V ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + 1 ) ) )
20	19	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) /\ Y e. NN ) -> ( # ` V ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + 1 ) )
21		brfi1indlem 13278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. _V /\ N e. V /\ ( ( # ` V ) - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( # ` V ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + 1 ) -> ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - 1 ) ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. _V /\ N e. V /\ ( ( # ` V ) - 1 ) e. NN0 ) /\ ( # ` V ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + 1 ) ) -> ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - 1 ) )
23	6, 7, 13, 20, 22	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) /\ Y e. NN ) -> ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - 1 ) )
24		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - 1 ) -> ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) )
25	24	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - 1 ) -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) <-> ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) )
26	9	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) -> ( Y e. NN <-> ( # ` V ) e. NN ) )
27		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( # ` V ) e. NN0 )
28		hashclb 13149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( V e. _V -> ( V e. Fin <-> ( # ` V ) e. NN0 ) )
29	27, 28	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( V e. _V -> V e. Fin ) )
30		cusgrsizeindb0.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- E = (Edg ` G )
31		cusgrsizeinds.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F = { e e. E | N e/ e }
32	1, 30, 31	cusgrsizeinds 26348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( # ` F ) ) )
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( # ` F ) ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) )
34	33	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( # ` F ) ) <-> ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) ) )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( # ` V ) e. NN /\ ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) -> ( ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( # ` F ) ) <-> ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) ) )
36		bcn2m1 13111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) )
37	36	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) <-> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) )
38	37	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( # ` V ) e. NN /\ ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) -> ( ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) )
40	35, 39	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( # ` V ) e. NN /\ ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) ) -> ( ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( # ` F ) ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) )
41	40	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( # ` F ) ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )
42	41	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( # ` E ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) + ( # ` F ) ) -> ( ( # ` V ) e. NN -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G e. ComplUSGraph /\ V e. Fin /\ N e. V ) -> ( ( # ` V ) e. NN -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )
44	43	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G e. ComplUSGraph -> ( V e. Fin -> ( N e. V -> ( ( # ` V ) e. NN -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) ) )
45	44	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` V ) e. NN -> ( V e. Fin -> ( N e. V -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) ) )
46	29, 45	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( V e. _V -> ( ( # ` V ) e. NN -> ( N e. V -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) ) )
47	46	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( V e. _V -> ( N e. V -> ( ( # ` V ) e. NN -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) -> ( N e. V -> ( ( # ` V ) e. NN -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) ) )
49	48	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) -> ( ( # ` V ) e. NN -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) )
50	26, 49	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) -> ( Y e. NN -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) )
51	50	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) /\ Y e. NN ) -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )
52	51	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` F ) = ( ( ( # ` V ) - 1 ) _C 2 ) -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) /\ Y e. NN ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )
53	25, 52	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - 1 ) -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) /\ Y e. NN ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) )
54	53	com24 95	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - 1 ) -> ( ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) /\ Y e. NN ) -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) )
55	23, 54	mpcom 38	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) /\ Y e. NN ) -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )
56	55	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. _V /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) -> ( Y e. NN -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) )
57	56	adantllr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( V e. _V /\ Y e. NN0 ) /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) -> ( Y e. NN -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) )
58	5, 57	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( V e. _V /\ Y e. NN0 ) /\ ( # ` V ) = Y ) /\ N e. V ) -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )
59	58	exp41 638	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( Y e. NN0 -> ( ( # ` V ) = Y -> ( N e. V -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) ) ) )
60	59	com25 99	. . . 4 |- ( V e. _V -> ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` V ) = Y -> ( N e. V -> ( Y e. NN0 -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) ) ) )
61	3, 60	ax-mp 5	. . 3 |- ( G e. ComplUSGraph -> ( ( # ` V ) = Y -> ( N e. V -> ( Y e. NN0 -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) ) ) )
62	61	3imp 1256	. 2 |- ( ( G e. ComplUSGraph /\ ( # ` V ) = Y /\ N e. V ) -> ( Y e. NN0 -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )
63	62	com12 32	1 |- ( Y e. NN0 -> ( ( G e. ComplUSGraph /\ ( # ` V ) = Y /\ N e. V ) -> ( ( # ` F ) = ( ( # ` ( V \ { N } ) ) _C 2 ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` V ) _C 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   _C cbc 13089   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  ComplUSGraphccusgr 26227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-fusgr 26209  df-nbgr 26228  df-uvtxa 26230  df-cplgr 26231  df-cusgr 26232

This theorem is referenced by:  cusgrsize  26350