Theorem deg1ldg 23852

Description: A nonzero univariate polynomial always has a nonzero leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
deg1ldg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem deg1ldg

Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2	1	deg1fval 23840	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3		eqid 2622	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		deg1nn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1bas 19565	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8		deg1ldg.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
9		psr1baslem 19555	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10		tdeglem2 23821	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑎))
11		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	3, 4, 11	ply1mpl0 19625	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
13	2, 3, 7, 8, 9, 10, 12	mdegldg 23826	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)))
14		deg1ldg.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
15	14	fvcoe1 19577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
16	15	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
17		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘∅) = (𝑏‘∅))
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)) = (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))
19		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏‘∅) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝑏‘∅))
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘(𝑏‘∅)))
23	16, 22	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)))
24	23	neeq1d 2853	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
25	24	anbi1d 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹))))
26		ancom 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌))
27	25, 26	syl6bb 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
28	27	rexbidva 3049	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌)))
29		df1o2 7572	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 = {∅}
30		nn0ex 11298	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
31		0ex 4790	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
32	29, 30, 31, 18	mapsnf1o2 7905	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
33		f1ofo 6144	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
34		eqeq1 2626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ↔ 𝑑 = (𝐷‘𝐹)))
35		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) = (𝐴‘𝑑))
36	35	neeq1d 2853	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
37	34, 36	anbi12d 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = 𝑑 → ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
38	37	cbvexfo 6545	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
39	32, 33, 38	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏)) ≠ 𝑌) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌))
40	28, 39	syl6bb 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌)))
41	1, 4, 11, 6	deg1nn0cl 23848	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
42		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → (𝐴‘𝑑) = (𝐴‘(𝐷‘𝐹)))
43	42	neeq1d 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐹) → ((𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌 ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
44	43	ceqsrexv 3336	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
45	41, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐴‘𝑑) ≠ 𝑌) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
46	40, 45	bitrd 268	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)((𝐹‘𝑏) ≠ 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑎‘∅))‘𝑏) = (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌))
47	13, 46	mpbid 222	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  ∅c0 3915   ↦ cmpt 4729  –onto→wfo 5886  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553   ↑_𝑚 cmap 7857  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  Ringcrg 18547   mPoly cmpl 19353  PwSer₁cps1 19545  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816

This theorem is referenced by:  deg1ldgn  23853  deg1ldgdomn  23854  deg1add  23863  deg1mul2  23874  drnguc1p  23930