Theorem deg1mul2 23874

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul2.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1mul2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul2.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul2.fz	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul2.fc	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul2.gz	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		deg1mul2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3		deg1mul2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1mul2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		deg1mul2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
6		deg1mul2.fb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		deg1mul2.gb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		deg1mul2.fz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
9		deg1mul2.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
10	2, 1, 9, 4	deg1nn0cl 23848	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
11	3, 6, 8, 10	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		deg1mul2.gz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
13	2, 1, 9, 4	deg1nn0cl 23848	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
14	3, 7, 12, 13	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
15	11	nn0red 11352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
16	15	leidd 10594	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
17	14	nn0red 11352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
18	17	leidd 10594	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 14, 16, 18	deg1mulle2 23869	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))
20	1	ply1ring 19618	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
21	3, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
22	4, 5	ringcl 18561	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23	21, 6, 7, 22	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
24	11, 14	nn0addcld 11355	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0)
25		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 5, 25, 4, 2, 9, 3, 6, 8, 7, 12	coe1mul4 23860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))
27		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
29	2, 1, 9, 4, 27, 28	deg1ldg 23852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
30	3, 7, 12, 29	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
31		deg1mul2.fc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33	28, 4, 1, 32	coe1f 19581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
34	7, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	34, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
36		deg1mul2.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
37	36, 32, 25, 27	rrgeq0i 19289	. . . . . . 7 ⊢ ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
38	31, 35, 37	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
39	38	necon3d 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)))
40	30, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
41	26, 40	eqnetrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
42		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
43	2, 1, 4, 27, 42	deg1ge 23858	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
44	23, 24, 41, 43	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
45	2, 1, 4	deg1xrcl 23842	. . . 4 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
46	23, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
47	24	nn0red 11352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ)
48	47	rexrd 10089	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ*)
49		xrletri3 11985	. . 3 ⊢ (((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
50	46, 48, 49	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
51	19, 44, 50	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   + caddc 9939  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  0_gc0g 16100  Ringcrg 18547  RLRegcrlreg 19279  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-rlreg 19283  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816

This theorem is referenced by:  ply1domn  23883  ply1divmo  23895  fta1glem1  23925  mon1psubm  37784  deg1mhm  37785