Theorem deg1add 23863

Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1addle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addle.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
deg1addle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1addle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1add.l	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
deg1add	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
2		deg1addle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3		deg1addle.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1addle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		deg1addle.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑌)
6		deg1addle.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		deg1addle.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	deg1addle 23861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
9		deg1add.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
10	2, 1, 4	deg1xrcl 23842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
12	2, 1, 4	deg1xrcl 23842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
13	6, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
14		xrltnle 10105	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹) ↔ ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺)))
15	11, 13, 14	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹) ↔ ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺)))
16	9, 15	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺))
17	16	iffalsed 4097	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))
18	8, 17	breqtrd 4679	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐹))
19	1	ply1ring 19618	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
20	3, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
21	4, 5	ringacl 18578	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
22	20, 6, 7, 21	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
23		nltmnf 11963	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* → ¬ (𝐷‘𝐺) < -∞)
24	11, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘𝐺) < -∞)
25	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
26		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 = (0g‘𝑌) → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(0g‘𝑌)))
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
28	2, 1, 27	deg1z 23847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑌)) = -∞)
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑌)) = -∞)
30	26, 29	sylan9eqr 2678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐹) = -∞)
31	25, 30	breqtrd 4679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐺) < -∞)
32	31	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (0g‘𝑌) → (𝐷‘𝐺) < -∞))
33	32	necon3bd 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐷‘𝐺) < -∞ → 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)))
34	24, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑌))
35	2, 1, 27, 4	deg1nn0cl 23848	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
36	3, 6, 34, 35	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
37		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
38	1, 4, 5, 37	coe1addfv 19635	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))))
39	3, 6, 7, 36, 38	syl31anc 1329	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))))
40		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
41		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
42	2, 1, 4, 40, 41	deg1lt 23857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹)) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹)) = (0g‘𝑅))
43	7, 36, 9, 42	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹)) = (0g‘𝑅))
44	43	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐹))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
45		ringgrp 18552	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
46	3, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
47		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
48		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
49	47, 4, 1, 48	coe1f 19581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
50	6, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
51	50, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 37, 40	grprid 17453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
53	46, 51, 52	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
54	39, 44, 53	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
55	2, 1, 27, 4, 40, 47	deg1ldg 23852	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑌)) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
56	3, 6, 34, 55	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
57	54, 56	eqnetrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
58		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 + 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 + 𝐺))
59	2, 1, 4, 40, 58	deg1ge 23858	. . 3 ⊢ (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
60	22, 36, 57, 59	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))
61	2, 1, 4	deg1xrcl 23842	. . . 4 ⊢ ((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
62	22, 61	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ*)
63		xrletri3 11985	. . 3 ⊢ (((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹) ↔ ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))))
64	62, 13, 63	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹) ↔ ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)))))
65	18, 60, 64	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ifcif 4086   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  Ringcrg 18547  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816

This theorem is referenced by:  deg1sub  23868