Theorem dvres2lem 23674

Description: Lemma for dvres2 23676. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvres.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
dvres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvres.y	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)
dvres2lem.d	⊢ (𝜑 → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
dvres2lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvres2lem	⊢ (𝜑 → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvres2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvres.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
2		dvres.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtop 22587	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4		dvres.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		cnex 10017	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
6		ssexg 4804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8		resttop 20964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
9	3, 7, 8	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
10	1, 9	syl5eqel 2705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Top)
11		inss1 3833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
12		dvres.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
13	11, 12	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑆)
14	2	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
15		resttopon 20965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16	14, 4, 15	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
17	1, 16	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
18		toponuni 20719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝑇)
20	13, 19	sseqtrd 3641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
21		difssd 3738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
22	20, 21	unssd 3789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)) ⊆ ∪ 𝑇)
23		inundif 4046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
24	12, 19	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
25		ssdif 3745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))
26		unss2 3784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
28	23, 27	syl5eqssr 3650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
29		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
30	29	ntrss 20859	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)) ⊆ ∪ 𝑇 ∧ 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
31	10, 22, 28, 30	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
32		dvres2lem.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
33		dvres.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
34		dvres.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	1, 2, 33, 4, 34, 12	eldv 23662	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
36	32, 35	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)))
37	36	simpld 475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴))
38	31, 37	sseldd 3604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
39		dvres2lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)
40	38, 39	elind 3798	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
41		dvres.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
42	41, 19	sseqtrd 3641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇)
43		inss2 3834	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
45		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐵) = (𝑇 ↾t 𝐵)
46	29, 45	restntr 20986	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
47	10, 42, 44, 46	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
48	1	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐵) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵)
49	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
50		restabs 20969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
51	49, 41, 7, 50	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
52	48, 51	syl5eq 2668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
53	52	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝑇 ↾t 𝐵)) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐵)))
54	53	fveq1d 6193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
55	47, 54	eqtr3d 2658	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
56	40, 55	eleqtrd 2703	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
57		limcresi 23649	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥)
58	36	simprd 479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))
59	57, 58	sseldi 3601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
60		difss 3737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
61	60, 43	sstri 3612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
62	61	sseli 3599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) → 𝑧 ∈ 𝐵)
63		fvres 6207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
64		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
65	39, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
66	63, 65	oveqan12rd 6670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
68	62, 67	sylan2 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
69	68	mpteq2dva 4744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
70	33	reseq1i 5392	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
71		ssdif 3745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
72		resmpt 5449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
73	11, 71, 72	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
74	70, 73	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
75	69, 74	syl6eqr 2674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})))
76	75	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
77	59, 76	eleqtrrd 2704	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
78		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵)
79		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
80	41, 4	sstrd 3613	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
81		fresin 6073	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
82	34, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
83	78, 2, 79, 80, 82, 44	eldv 23662	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
84	56, 77, 83	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   − cmin 10266   / cdiv 10684   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  Topctop 20698  TopOnctopon 20715  intcnt 20821   lim_ℂ climc 23626   D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvres2  23676