Theorem dvreslem 23673

Description: Lemma for dvres 23675. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvres.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
dvres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvres.y	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvreslem	⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
2		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
3	1, 2	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
4		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
5	3, 4	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ 𝐵)
6		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
8		dvres.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
9		dvres.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
10	9	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 ∈ Top
11		dvres.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ ∈ V
13		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
14	11, 12, 13	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
15		resttop 20964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
16	10, 14, 15	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
17	8, 16	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Top)
18		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
19		dvres.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
20	18, 19	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑆)
21	9	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
22		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
23	21, 11, 22	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
24	8, 23	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
25		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝑇)
27	20, 26	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
29	28	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
30	17, 27, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
31	30, 2	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵)
32	31	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
33		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
36	7, 35	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
38	37	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
39		dvres.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
40	39	reseq1i 5392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
41		ssdif 3745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
42		resmpt 5449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
43	18, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
44	40, 43	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
45	38, 44	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})))
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
47		dvres.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
49	19, 11	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
51	30, 18	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐴)
52	51	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
53	48, 50, 52	dvlem 23660	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
54	53, 39	fmptd 6385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐺:(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
55	18, 41	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
56		difss 3737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
57	56, 50	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
58		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
59		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝐴) ⊆ ∪ 𝑇)
60	27, 59	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)) ⊆ ∪ 𝑇)
61		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)))
63	28	ntrss 20859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)) ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))))
64	17, 60, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))))
65	64, 51	ssind 3837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
66	19, 26	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
67	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐴) = (𝑇 ↾t 𝐴)
69	28, 68	restntr 20986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
70	17, 66, 67, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
71	8	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐴) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴)
72	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
73		restabs 20969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
74	72, 19, 14, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
75	71, 74	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
76	75	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝑇 ↾t 𝐴)) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐴)))
77	76	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
78	70, 77	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
79	65, 78	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
80	79	sselda 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
81		undif1 4043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥})
82	30	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
83	82	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → {𝑥} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
84	83, 18	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
85		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
86	84, 85	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
87	81, 86	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾 ↾t 𝐴))
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐴)))
90		undif1 4043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥})
91		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
92	83, 91	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
93	90, 92	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
94	89, 93	fveq12d 6197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
95	80, 94	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
96	54, 55, 57, 9, 58, 95	limcres 23650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝑥))
97	46, 96	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝑥))
98	97	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)))
99	98	pm5.32da 673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
100		dvres.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
101	100, 26	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇)
102	28	ntrin 20865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
103	17, 66, 101, 102	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
104	103	eleq2d 2687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
105		elin 3796	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
106	104, 105	syl6bb 276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
107	106	anbi1d 741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
108	99, 107	bitrd 268	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
109		an32 839	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
110	108, 109	syl6bb 276	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
111		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
112		fresin 6073	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
113	47, 112	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
114	8, 9, 111, 11, 113, 20	eldv 23662	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
115	8, 9, 39, 11, 47, 19	eldv 23662	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
116	115	anbi1d 741	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
117	110, 114, 116	3bitr4d 300	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   − cmin 10266   / cdiv 10684   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  Topctop 20698  TopOnctopon 20715  intcnt 20821   lim_ℂ climc 23626   D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvres  23675