Theorem fsumiun 14553

Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
fsumiun.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumiun	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumiun

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		fsumiun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		sseq1 3626	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4		iuneq1 4534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
5		0iun 4577	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∅)
7	6	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
8		sumeq1 14419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
9	7, 8	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
10	3, 9	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
11	10	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
12		sseq1 3626	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑧 ⊆ 𝐴))
13		iuneq1 4534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵)
14	13	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶)
15		sumeq1 14419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
16	14, 15	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
17	12, 16	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
18	17	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
19		sseq1 3626	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴))
20		iuneq1 4534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
21	20	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)
22		sumeq1 14419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
23	21, 22	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
24	19, 23	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
25	24	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
26		sseq1 3626	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
27		iuneq1 4534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
28	27	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
29		sumeq1 14419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
30	28, 29	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
31	26, 30	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
32	31	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
33		sum0 14452	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 0
34		sum0 14452	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = 0
35	33, 34	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
36	35	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
37		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
38	37	unssad 3790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → 𝑧 ⊆ 𝐴)
39	38	imim1i 63	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
40		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
41		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧𝐵
42		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
43		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
44	41, 42, 43	cbviun 4557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ∪ 𝑧 ∈ {𝑤}⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
45		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑤 ∈ V
46		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
47	45, 46	iunxsn 4603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ {𝑤}⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
48	44, 47	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
49	48	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
50		fsumiun.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
52	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
53		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
54	53	unssbd 3791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
55		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
56		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
57	55, 56	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
58		disjiun 4640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
59	51, 52, 54, 57, 58	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
60	49, 59	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
61		iunxun 4605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
62	48	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
63	61, 62	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
65	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
66		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
67	65, 53, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
68		fsumiun.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
69	68	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
71		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin))
72	53, 70, 71	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
73		iunfi 8254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
74	67, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
75		iunss1 4532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
77	76	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
78		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
79		fsumiun.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
80	79	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
81	80	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
82	78, 81	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
83	82	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
84	77, 83	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
85	60, 64, 74, 84	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
86		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) = (𝑧 ∪ {𝑤}))
87	53	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
88	79	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
89	68, 88	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
90	89	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
91	90	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
92	91	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
93	87, 92	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
94	57, 86, 67, 93	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
95		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
96		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
97	42, 96	nfsum 14421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶
98	43	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
99	95, 97, 98	cbvsumi 14427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶
100	45	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ {𝑤} ⊆ 𝐴)
101	54, 100	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
102		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
103	102, 96	nfsum 14421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶
104	103	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ
105		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
106	105	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
107	106	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ))
108	104, 107	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ))
109	101, 91, 108	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ)
110	46	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
111	110	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
112	45, 109, 111	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
113	99, 112	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
115	94, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
116	85, 115	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)))
117	40, 116	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
118	117	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
119	118	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → (((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
120	39, 119	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
121	120	expcom 451	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝑧 → (𝜑 → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
122	121	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝑧 → ((𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
123	122	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
124	11, 18, 25, 32, 36, 123	findcard2s 8201	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
125	2, 124	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
126	1, 125	mpi 20	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200  ⦋csb 3533   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  ∪ ciun 4520  Disj wdisj 4620  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  0cc0 9936   + caddc 9939  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  hashiun  14554  incexc2  14570  musum  24917  breprexplema  30708  fsumiunss  39807