Theorem pncan2d 10394

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 10288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  2txmxeqx  11149  xov1plusxeqvd  12318  fzocatel  12531  expaddzlem  12903  hashf1lem2  13240  swrdccat2  13458  imval2  13891  clim2ser  14385  serf0  14411  fsumrev2  14514  geolim2  14602  mertenslem2  14617  mertens  14618  bpolydiflem  14785  eirrlem  14932  dvdsadd2b  15028  bitsmod  15158  sadadd3  15183  mulgdirlem  17572  coe1tmmul2fv  19648  coe1pwmulfv  19650  cnsubrg  19806  reperflem  22621  reconnlem2  22630  ioorcl2  23340  uniioombllem3  23353  lhop1lem  23776  dvfsumabs  23786  ftc1lem1  23798  itgparts  23810  itgsubstlem  23811  coe1mul3  23859  coemulhi  24010  abelthlem6  24190  efif1olem4  24291  efopn  24404  dcubic2  24571  log2tlbnd  24672  birthdaylem2  24679  jensenlem2  24714  fsumharmonic  24738  lgamcvg2  24781  chtdif  24884  chtublem  24936  bposlem9  25017  lgsquadlem1  25105  dchrisumlem1  25178  dchrisumlem2  25179  dchrisum0lem1b  25204  selberg2lem  25239  logdivbnd  25245  pntrsumo1  25254  pntrsumbnd2  25256  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem6  25272  pntpbnd1a  25274  axsegconlem9  25805  axpaschlem  25820  2sqmod  29648  archiabllem1a  29745  probdif  30482  ballotlemsi  30576  dnizphlfeqhlf  32466  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem16  32518  bj-bary1lem1  33161  ftc1anc  33493  jm2.27c  37574  jm3.1lem2  37585  radcnvrat  38513  binomcxplemdvbinom  38552  binomcxplemnotnn0  38555  fzisoeu  39514  supxrgelem  39553  mccllem  39829  ioodvbdlimc1lem2  40147  stirlinglem5  40295  fourierdlem7  40331  fourierdlem19  40343  fourierdlem26  40350  fourierdlem42  40366  fourierdlem63  40386  fourierdlem65  40388  fourierdlem79  40402  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem101  40424  fourierdlem112  40435  qndenserrnbllem  40514  sigarcol  41053  dignn0flhalflem1  42409