Theorem ftc1a 23800

Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function 𝐺 formed by varying the right endpoint of an integral of 𝐹 is continuous if 𝐹 is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ftc1a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1a

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 𝑟 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
2		ftc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ftc1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ftc1.le	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		ftc1.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6		ftc1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
7		ftc1.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
8		ftc1a.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ftc1lem2 23799	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10		fvexd 6203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑤) ∈ V)
11	8	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)))
12	11, 7	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)) ∈ 𝐿1)
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑤)) ∈ 𝐿1)
14		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
15	10, 13, 14	itgcn 23609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
16		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (𝑠 − 𝑟) = (𝑧 − 𝑦))
17	16	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (abs‘(𝑠 − 𝑟)) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
18	17	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑))
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐺‘𝑠) = (𝐺‘𝑧))
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑦))
21	19, 20	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟)) = ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)))
22	21	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))))
23	22	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → ((abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
24	18, 23	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑧 ∧ 𝑟 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
25	24	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 = 𝑦 ∧ 𝑠 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
26		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (𝑠 − 𝑟) = (𝑦 − 𝑧))
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (abs‘(𝑠 − 𝑟)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
28	27	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑))
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐺‘𝑠) = (𝐺‘𝑦))
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑧))
31	29, 30	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟)) = ((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧)))
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))))
33	32	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → ((abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒))
34	28, 33	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 = 𝑦 ∧ 𝑟 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
35	34	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 = 𝑧 ∧ 𝑠 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠 − 𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑠) − (𝐺‘𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
36		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
37	2, 3, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
39	37	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	39, 40	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ)
42	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℂ)
43		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	39, 43	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
45	44	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
46	42, 45	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
47	46	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑))
48	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
49	48, 40	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
50	48, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
51	49, 50	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))))
52	51	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒))
53	47, 52	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑒)))
54		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
55	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
56	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
58	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
59	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
60	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
61	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
62		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64	1, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63	ftc1lem1 23798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
65	54, 64	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
66	65	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
67	66	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
69		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
70	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ)
71	70	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
72		simprl1 1106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ)
74		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
75	70, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
76	72, 75	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
77	76	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
78		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
79	71, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
80	73	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81		simprl2 1107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
83	70, 73, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵)))
84	81, 83	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝐵))
85	84	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
86		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
87	80, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
88	79, 87	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
89	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
90	88, 89	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷)
91		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol)
93		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
94	8	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
95	94, 7	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
96	95	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
97	90, 92, 93, 96	iblss 23571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
98	69, 97	itgcl 23550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
99	98	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) ∈ ℝ)
100		iblmbf 23534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1 → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
101	97, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
102	101, 69	mbfmptcl 23404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
103	102	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
104	69, 97	iblabs 23595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
105	103, 104	itgrecl 23564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 ∈ ℝ)
106		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
107	106	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
108	107	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ)
109	69, 97	itgabs 23601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) ≤ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
110		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
111		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧)))
112	91, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧))
113		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ
114		ovolcl 23246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
115	113, 114	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
116	84	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ ℝ)
117	76	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
118	116, 117	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
119	118	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ*)
120		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
121	120	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
122	121	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
123		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
124		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
125	117, 116, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
126		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) ∧ (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
127	123, 125, 126	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
128		simprl3 1108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ≤ 𝑧)
129		ovolicc 23291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
130	117, 116, 128, 129	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧 − 𝑦))
131	127, 130	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (𝑧 − 𝑦))
132	117, 116, 128	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (𝑧 − 𝑦))
133		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)
134	132, 133	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 − 𝑦) < 𝑑)
135	115, 119, 122, 131, 134	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
136	112, 135	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
137	90, 136	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
138		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (𝑢 ⊆ 𝐷 ↔ (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷))
139		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (vol‘𝑢) = (vol‘(𝑦(,)𝑧)))
140	139	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
141	138, 140	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) ↔ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)))
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑡))
143	142	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
144	143	cbvitgv 23543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 = ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡
145		itgeq1 23539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
146	144, 145	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡)
147	146	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒 ↔ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
148	141, 147	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) ↔ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
149	148	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
150	92, 110, 137, 149	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹‘𝑡)) d𝑡 < 𝑒)
151	99, 105, 108, 109, 150	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹‘𝑡) d𝑡) < 𝑒)
152	68, 151	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)
153	152	expr 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
154	25, 35, 38, 53, 153	wlogle 10561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
155	154	ralrimivva 2971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
156	155	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
157	156	anassrs 680	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
158	157	reximdva 3017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹‘𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒)))
159	15, 158	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
160		r19.12 3063	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
161	159, 160	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
162	161	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
163		ralcom 3098	. . 3 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
164	162, 163	sylib 208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))
165		ax-resscn 9993	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
166	37, 165	syl6ss 3615	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
167		ssid 3624	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
168		elcncf2 22693	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))))
169	166, 167, 168	sylancl 694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑦))) < 𝑒))))
170	9, 164, 169	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,]cicc 12178  abscabs 13974  –cn→ccncf 22679  vol*covol 23231  volcvol 23232  MblFncmbf 23383  𝐿¹cibl 23386  ∫citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  ftc2  23807