Theorem ioccncflimc 40098

Description: Limit at the upper bound, of a continuous function defined on a left open right closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioccncflimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioccncflimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ioccncflimc.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ioccncflimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
ioccncflimc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem ioccncflimc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioccncflimc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))
2		ioccncflimc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ioccncflimc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 10089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ioccncflimc.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	3	leidd 10594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
7	2, 4, 4, 5, 6	eliocd 39730	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8	1, 7	cnlimci 23653	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
9		cncfrss 22694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
11		ssid 3624	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
12		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))
14		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15	12, 13, 14	cncfcn 22712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
16	10, 11, 15	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
17	1, 16	eleqtrd 2703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
18	12	cnfldtopon 22586	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19		resttopon 20965	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
20	18, 10, 19	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
21	12	cnfldtop 22587	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
22		unicntop 22589	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
23	22	restid 16094	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
25	24	cnfldtopon 22586	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
26		cncnp 21084	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
27	20, 25, 26	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
28	17, 27	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
29	28	simpld 475	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ)
30		ioossioc 39713	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
32		eqid 2622	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
33	3	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
34	22	ntrtop 20874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
35	21, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
36		undif 4049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
37	10, 36	sylib 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
38	37	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))))
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
40	35, 39	syl5eqr 2670	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
41	33, 40	eleqtrd 2703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
42	41, 7	elind 3798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
43	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
44		ssid 3624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
46	22, 13	restntr 20986	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
47	43, 10, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
48	42, 47	eleqtrrd 2704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
49	7	snssd 4340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵))
50		ssequn2 3786	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
51	49, 50	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
52	51	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
53	52	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))
54	53	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
55		snunioo2 39731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
56	2, 4, 5, 55	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
57	56	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
58	54, 57	fveq12d 6197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
59	48, 58	eleqtrd 2703	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
60	29, 31, 10, 12, 32, 59	limcres 23650	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))
61	8, 60	eleqtrrd 2704	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  (,)cioo 12175  (,]cioc 12176   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  Topctop 20698  TopOnctopon 20715  intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029  –cn→ccncf 22679   lim_ℂ climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem46  40369